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Montrer qu'un ensemble est ouvert
Bonjour, je suis actuellement en classe préparatoire et je n'arrive pas à résoudre cet exercice de mon TD. Pourriez-vous m'aidez svp ?
Un ensemble A ⊂ ℝ est dit ouvert si la propriété suivante est vérifiée :
∀ x ∈A ∃ε > 0 tel que ]x -ε ; x + ε[ ∈ A
a)Montrer que ]0; 1[ est un ouvert de ℝ.
b)En niant la définition ci-dessus, montrer que [0; 1[ n'est pas un ouvert de ℝ.
Bonsoir !
Donc tu prends et tu cherches
pour avoir
et
(en montrant que ces conditions suffisent pour l'inclusion).
Qu'est-ce qui distingue le premier ensemble du deuxième ? Quand tu auras repéré le point litigieux il te reste à montrer que pour TOUT l'inclusion n'est pas possible.
Je dois donc trouver une valeur de ε pour laquelle qui vérifie a-ε > 0 et a+ε < 1 ?
Le deuxième ensemble n'est ni ouvert ni fermé.
Si je nie la définition cela correspond à : ∃ x ∈A ∀ ε > 0 tel que ]x -ε ; x + ε[ n'appartient pas à A
C'est ça ?
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