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Montrer qu'une application linéaire est continue

Posté par
Akagi
02-11-17 à 18:34

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour un exercice :

On considère X = C[0,1] des fonctions continues sur [0,1]
On munit X de la norme infini, et on considère l'application de X dans défini par (f) = f(1)

1) Est-ce que linéaire ? Continue ?

2) Même question si on munit X de la norme 1 ( norme de f = l'intégrale entre 0 et 1 de valeur absolue de f )

Alors pour la question 1, j'ai réussi à montrer que c'est continu car abs(f) norme infini de f

mais pour la 2) je bloque, si on nous pose la question c'est que sans doute ce n'est pas continue mais je ne vois pas comment le montrer

merci

Posté par
Akagi
re : Montrer qu'une application linéaire est continue 02-11-17 à 18:35

Correctio, j'ai montré que abs(f(1)) norme infini de f

Posté par
jsvdb
re : Montrer qu'une application linéaire est continue 02-11-17 à 18:41

Bonsoir Akagi
Pour la 2) peux-tu trouver une suite de fonctions continues qui converge vers 0 pour la norme 1 et telle que f(1) = 1 ?

Posté par
jb2017
re : Montrer qu'une application linéaire est continue 02-11-17 à 18:44

Bonjour
Pour la question 1 ta réponse est vague. D'abord abs(f) qu'est ce que cela veut dire pour toi?

Citation :
mais pour la 2) je bloque, si on nous pose la question c'est que sans doute ce n'est pas continue mais je ne vois pas comment le montrer

Ce n'est pas très logique. Qu'en sais tu?
La démarche à suivre est que:
Si tu n'as aucune idée de la réponse, tu commences par essayer de démontrer. Si tu n'y arrive pas alors cela peut te donner des idées.

Posté par
jb2017
re : Montrer qu'une application linéaire est continue 02-11-17 à 18:46

Excuses moi pour la réponse simultanée et puis j'avais lu  abs(f) et non pas abs(f(1)).

Posté par
etniopal
re : Montrer qu'une application linéaire est continue 02-11-17 à 18:47

Désigne par N la norme u |u|  et regarde la suite n   fn où fn : x (1 - x)n .

Posté par
jsvdb
re : Montrer qu'une application linéaire est continue 02-11-17 à 18:50

Bon bah ce sera une suite de fonctions continues qui converge vers 0 pour la norme 1 et telle que f(0) = 1

Posté par
Akagi
re : Montrer qu'une application linéaire est continue 02-11-17 à 18:52

jsvdb @ 02-11-2017 à 18:41

Bonsoir Akagi
Pour la 2) peux-tu trouver une suite de fonctions continues qui converge vers 0 pour la norme 1 et telle que f(1) = 1 ?


1/n+1 ? Mais je vois pas en quoi cela montre que ce n'est pas continue.. j'ai du mal à voir

Je sais qu'une application linéaire f de E dans F est continue si il existe K > 0 tel que pour tout x dans E, norme sur F de f K*norme sur E de x

Posté par
etniopal
re : Montrer qu'une application linéaire est continue 02-11-17 à 18:57

Pardon !
Ce que je viens de poster concerne la forme linéaire u : f   f(0)
Pour   je pense que tu dois voir quelle suite n gn  il te suffit de regarder .



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