Bonjour,
le truc est le même que pour montrer qu'une fonction d'une variable réelle est dérivable (même justification).

Pour la dérivée directionnelle, il faut une direction.

Je m'embrouille un peu et je ne sais pas faire.

je dois faire ça :

f(h,0)-f(0)=df(h)+o(h) ?

mais dans quels n'existent elle pas alors ?
(on trouve forcement df ?)

f(h,0) = h*0/(h²+0) ? donc df(h) = 0 ?

Tout ça me parait bizarre, merci de m'éclairer.

Tu calcules [f(h,0)-f(0,0)]/h et tu regardes si la limite existe lorsque h tend vers 0.

J'ai une forme indéterminée.
lim h->0 0/h

Oui, comme pour n'importe quelle dérivée ...
Mais ce n'est pas parce qu'elle est indéterminée qu'elle ne se calcule pas...

Que trouves-tu?

Et bien ça justement. 0/h, je ne peux rien faire avec ça aussi.

Il me semble que 0/h = 0, non?

Cela fait une forme indéterminé de type 0/0 ?

Il me semble bien lorsque l'on multiplie n'importe quel nombre par 0, on trouve 0.

Donc 0/h = 0 pour tout h non nul.

Ah oui je suis bête, le numérateur n'est  pas une limite !

Du coup on peut dire que f admet des dérivées partielles ? A quoi correspond le 0 qu'on vient de trouver ?

C'est la dérivée partielle de f par rapport à x, df/dx (0,0).

Il faut aussi regarder l'autre dérivée partielle (celle par rapport à y).

Je crois avoir compris. Merci

Pour la dérivée directionnelle, comment dois-je faire (h est précisé (1, 1)) ?

Je pensais faire ça:

lim t->0 [f(0+ht, 0) -f(0, 0)]/t mais ça ne change pas grand chose du ce que je viens de faire.

La direction est (1,1) donc cela signifie que tu dois calculer

lim (f((0,0)+h(1,1))-f(0,0))/h

Je trouve 1/2. Je dois en déduire que f n'est pas dérivable ( car 1/2 différent de 0 ?) Pourquoi avoir pris h(1, 1) et pas autre chose ?

Quel rapport avec le fait que la fonction soit dérivable ou pas?

On prend h(1,1) parce que c'est ce qu'on nous demande de prendre. La direction étant (1,1).

Je sais pas c'est la question d'après, en déduire que f n'est pas dérivable en (x, y) = 0. Mais je n'arrive pas à me représenter ce à quoi correspond cette direction. Et si je prend h(3, 5), ça change quoi ?

Si tu prends (3,5) comme direction, tu devras calculer la limite de

[f(0 + h(3,5)) - f( 0 ) ] / h

D'accord, merci. Mais en quoi cette dérivée directionnelle permet de dire que f n'est pas dérivable en (0, 0) ?

Une fonction est différentiable en 0 si

[f(h,k) - f(0,0)]/||(h,k)|| tend vers une limite finie lorsque ||(h,k)|| tend vers 0.

Essaie de trouver une contradiction.

Pardon, je rectifie,
f(h,k)= f(0,0) + ah + bk + o(||(h,k)||)

Salut a tous:
Bon j'ai un probleme de maths, j'espère que vous puissiez m'aider. L'exo est comme suit: montrez que f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) si (x,y)#(0,0) admet des dérivées partielles secondes en tout point