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montrer qu'une fonction de R²->R² est injective?
Bonjour,
Dans un exo je dois montrer que la fonction f(x,y)=(xy, y²-x²) est injective sur le domaine suivant: D={(x,y)
² / 0<x<y, a<xy<b, y²-x²<1} avec b>a>0 .
J'ai essayé avec la méthode f(x,y)=f(x',y') mais je n'arrive pas à résoudre le système associé.
Si quelqu'un à un idée, ou la solution 
Pose y'=xy/x' et remplace dans y²-x²=y'²-x'².
Tu obtiens une équation où x'²=u est l'inconnue et x et y sont des paramètres.
En multipliant chaque membre par u, tu te ramènes à une équation du second degré qui te conduira à l'égalité x'=x avec les conditions du problème.
bonjour,
Sans doute la même démarche que Robot
f est différentiable
Calcule le jacobien (il est non nul dans le domaine) et utilise le théorème d'inversion locale d'une application différentiable
Non DOMOREA, ce n'est pas la même démarche, et la tienne ne marche pas : le théorème d'inversion locale est local, comme son nom l'indique, et ne donne pas l'injectivité globale !
bonjour,
on peut utiliser la fonction analytique z-->z² dans le domaine considéré en utilisant la composition
(x,y)---(y,x)--->z=y+ix)-->z²=(y²-x²,2xy)--->(2xy,y²-x²)--->(xy,y²-x²)
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