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Montrer qu'une fonction est de classe C(infini)
Bonjour à tous et à toutes,
j'aimerais avoir une petite aide sur un problème.
J'ai l'équation différentielle (E) : y(3)= y, donc f est solution entraine f 3 fois dérivable sur R, elle est donc de classe D3.
Ensuite je dois montrer que toute solution de (E) est de classe C
sur R.
Voici ce que j'ai fait :
On procède par récurrence : Soit P(n) :"f est n fois dérivable"
Initialisation : f est de classe D3 => f C2 => f D2 => f C1 => f D1
f est donc une fois dérivable donc P(1) est vraie
Hypothèse de récurrence : P(n) est vraie. Montrons que P(n+1) l'est aussi.
Hérédité : D'après (E), f(n)(x) = f(n-3)(x).
C'est ici que je bloque, car je ne sais pas où aller ensuite.
Une petite aide serait la bienvenue, merci d'avance ! 
Bonjour,
Je n'ai jamais vu la notation D3 souvent C3 est utilisée.
Pourquoi ne montres -tu pas tout simplement par récurrence sur n que f est C3n ?
La notation D3 a été utilisée par ma professeur de Maths pour dire qu'une fonction est 3 fois dérivable, mais que la dérivée 3-ième n'est pas forcément continue. ( C3 désigne une fonction 3 fois dérivable et la dérivée 3-ième est continue).
Montrer que la fonction est de classe C3n ? Je ne vois pas ce qui parait pour toi être une évidence désolé ^^
Si f est solution , alors f est D3 mais aussi C3 puique f est continue.
Si par hypothèse f est C3n
f3 = f , dérivée 3n fois fournit : f3n+3 = f3n d'où la propriété au rang n+1 .
Waw, je ne l'aura jamais vu comme ça. Merci, puisque j'ai vraiment du mal avec des démonstrations un peu plus abstraites que d'autres.
Merci !
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