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Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne

Posté par Profil Brahim156 16-11-16 à 14:37

bonjour

merci de m'aider à résoudre cet exercice

soit un ensemble A , A

et f une fonction définie de dans par:
f(x)= inf {|x-y|, y A}   (c'est à dire image de x pour y parcourant A)

la question est de montrer que f est lipschitzienne

pour debuter je pose la definition:
soient x et t 2 réels, je dois trouver un k réél positif tel que :

\frac{|f(x)-f(t)|}{|x-t|} \leq k

ce que j'ai fait j'ai essayé par triturer |f(x)-f(t)| en utilisant l'inégalité triangulaire pour arriver à majorer le rapport en question

|f(x)-f(t)|= |f(x)+(-f(t))|\leq |inf \left\{|x-y|, y \in A\right\}| +  |inf \left\{|t-y|, y \in A\right\}|

et là je bloque et je sais pas si j'ai pris le bon bout ou devoir faire autrement

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 14:56

Bonjour Brahim156.

Simplement, il faut constater que pour tout y de A : ||x-y| - |t-y|| \leq |x-y -(t-y)|=|x-t|

Posté par Profil Brahim156re : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 15:26

merci @jsvdb pour la reponse

j'ai bien pensé à l'autre forme de l'inégalité triangulaire mais comment se débarrasser des inf ?

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 15:45

On ne s'en débarrasse pas ! On les apprivoise

A partir de mon inégalité, tu as un double problème de minimisation : un en x et un en t !

Pour celui en x :
- tu choisis une suite y_n qui va minimiser la quantité |x-y|. Je m'appesantis pas sur l'existence d'une telle suite. Toujours est-il que  x_n = ||x-y_n| - |t-y|| \leq |x-t|.
Par définition de la suite y_n, la quantité |x-y_n| converge vers d(x,A) = f(x).
Donc, par continuité, x_n tend vers |f(x) - |t-y|| et par continuité de la valeur absolue, |f(x) - |t-y|| \leq |x-t| , POUR TOUT y dans A

Pour celui en t : tu fais pareil, mais cette fois t_n = |f(x) - |t-y_n|| \leq |x-t|, la suite y_n étant à priori différente de la précédente.

Et en bout de course, k = 1

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 15:47

Arrrrg ! j'ai appuyé trop vite sur envoi : ERRATUM
Toujours est-il que  x_n = ||x-y_n| - |t-y|| \leq |x-t| : C'EST FAUX
Mais l'idée de la démonstration reste !

Posté par
ThierryPomare : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 15:49

Bonjour,

Pour tous x, y\in\R et a\in{A}, l'on a

|x-a|=|(x-y)+(y-a)|\leqslant|x-y|+|y-a|\text{ et }|y-a|\leqslant|x-y|+|x-a|

d'où

\inf\limits_{a\in{A}}|x-a|\leqslant|x-y|+\inf\limits_{a\in{A}}|y-a|\text{ et }\inf\limits_{a\in{A}}|y-a|\leqslant|x-y|+\inf\limits_{a\in{A}}|x-a|

Je te laisse conclure !

Posté par Profil Brahim156re : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 15:58

je pensais pas que cette question faisait appel aux suites! moi je pensais à utiliser la formule Inf(A+B) = Inf A + InfB

me faut un plus de temps pour assimiler assimiler ta proposition!
merci encore

Posté par
ThierryPomare : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 16:22

A la suite du message du 16-11-16 à 15:49, l'on trouve bien

|f(x)-f(y)|\leqslant|x-y|

comme attendu. Ainsi f est-elle 1-lipschitzienne sur \R. Après, tu fais comme tu veux !

Posté par
lionel52re : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 16:27

"Inf(A+B) = Inf A + InfB "


Ah bon...

f(x) = x
g(x) = -x
Inf(f + g) = 0 alors que Inf(f) = Inf(g) = -infini

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 16:37

A et B sont des ensembles, pas des fonctions.

Posté par Profil Brahim156re : Montrer qu'une fonction f est lipschitzienne 16-11-16 à 16:38

bien sur @lionel tu as raison!

@thierrypoma , disons que suis arrivé à bon port avec ta proposition
merci en tout cas à vous tous les amis


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