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Niveau Maths sup
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Montrer que e est irrationnel

Posté par
TheCrock
20-01-24 à 13:57

Bonjour, je suis actuellement en train de faire mon dm où je dois monter que e est irrationnel,
Pour cela, on définit les suites suivantes :

n * :

un = (k = 0 à n)  1/k!
vn = un + 1/(n * n!)
tn = (1 + 1/n)n
wn = (1-1/n2)2


Après avoir montré que u est v sont adjacentes,  où l'on note E la limite commune de ces deux suites,
et que t e ainsi que w1

je dois maintenant vérifier que :
1)
n

tn = (k = 0 à n) [ (1/k!) * (j = 1 à k) (n-j+1)/n ) ]


2)En déduire que :
n , tn un

3) Soit n un entier naturel, vérifier que  pour tout entier  entre 0 et n :
wn (j = 1 à k) (n3 - j +1)/n3

4)
En déduire que :
n :
wnun tn3

5) montrer que E = e


pour la question 1), j'ai tenté de le montrer par récurrence, mais je n'aboutis pas, serait-il possible de m'indiquer quelques pistes ?
Merci beaucoup.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Montrer que e est irrationnel 20-01-24 à 15:21

Bonjour

Pour la question 1 c'est juste la formule du binôme de Newton.

Posté par
TheCrock
re : Montrer que e est irrationnel 20-01-24 à 15:36

Super merci beaucoup,
J'ai donc ensuite, sans problèmes, fait la question 2), mais je bloque encore sur la question 3)
Auriez vous quelques indications ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Montrer que e est irrationnel 20-01-24 à 15:52

Tu es sur de l'énoncé? Le second membre dépend de k qui n'est pas précisé nulle part!

Posté par
TheCrock
re : Montrer que e est irrationnel 20-01-24 à 16:00

mince, j'ai fait une erreur, si vous regardez bien dans l'énnoncé, j'ai oublié dans " pour tout entier k entre 0 et n"
Merci



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