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Montrer que f est de classe infinie

Posté par
molp 30-12-06 à 09:44

Bonjour,
Je sais qu'il doit s'agir d'une question simple mais n'ayant jamais vu ca en classe, je ne vois pas comment faire. Merci d'avance pour votre aide.
"Soit f la fonction définie sur R par : \forall x \in R, f(x) = \frac{1}{sqrt{1+x^2}}.
Montrer que f est de classe C^{\infty} sur R et que pour tout n \in N, il existe un polynôme P_n tel que :         \forall x \in R, \forall x \in R, f^{(n)}(x) = \frac{P_n(x)}{1+x^2)^{n+\frac{1}{2}}}            

Posté par
raymond CorrecteurMontrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 09:52

Bonjour.

Fais une récurrence. Elle te permettra de prouver en même temps les questions.

A plus RR.

Posté par
molpre : Montrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 10:04

mais dans la récurrence je suppose qu'il existe P_n ?
Et en quoi cela va me montrer que f est de classe infinie ?

Posté par
raymond Correcteurre : Montrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 10:32

Tu remarques que la formule proposée s'applique déjà à f = f(0)
Tu peux calculer f', tu verras que c'est bien la forme proposée.
Tu supposes que f(n) est du type proposé et tu calcules f(n+1).
Tu verras que c'est encore la formule de l'énoncé.
Comme cette formule est valable pour tout n, f est donc indéfiniment dérivable.

A plus RR.

Posté par
molpre : Montrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 10:39

ouije suis d'accord.
Et sinon comment montre on qu'il esixte un polynôme tel que ... ?

Posté par
raymond Correcteurre : Montrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 12:16

Si n = 0

2$\textrm f^{(0)}(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^{(0+1/2)}}

prouve que la récurrence fonctionne, avec P0(x) = 1.

On suppose que :

2$\textrm f^{(n)}(x) = \frac{P_{n}(x)}{(x^2 + 1)^{(n+1/2)}}

où Pn est un polynôme.

On dérive à l'ordre suivant en écrivant :

2$\textrm f^{(n)}(x) = P_{n}(x)\times(x^2 + 1)^{-(n+1/2)

2$\textrm f^{(n+1)}(x) = P'_{n}(x)(x^2 + 1)^{-(n+1/2)} + P_{n}(x)[-(n+1/2)(1+x^2)^{-(n+1/2)-1}.2x]

2$\textrm f^{(n+1)}(x) = (1+x^2)^{-(n+1)-1/2}[(x^2 + 1)P'_{n}(x) - (2n+1)x.P_{n}(x)]

3$\textrm f^{(n+1)}(x) = \frac{(x^2+1)P^'_{n}(x) - (2n+1)x.P_{n}(x)}{(1+x^2)^{(n+1)+1/2}}

3$\textrm f^{(n+1)}(x) = \frac{P_{n+1}(x)}{(1+x^2)^{(n+1)+1/2}} , P_{n+1}(x) = (x^2+1)P^'_{n}(x) - (2n+1)x.P_{n}(x)

La récurrence est vraie et en plus, on dispose d'une formule liant Pn(x) et Pn+1(x).

J'espère ne pas avoir commis trop d'erreurs de frappe ou de calcul. A plus RR

Posté par
molpre : Montrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 18:15

ah bah désolé car ca je l'avais fais mais je pensais pas que c'était ca qui était attendu !

Enfin, si je peux me permettre à la fin de ce problème il y a la question suivante et je ne comprends absolument pas ce qu'on attend de moi :
On a P'_n = -n^2P_{n-1}. déterminer toutes les dérivées successives de f en 0. (Que faut-il faire, j'y comprends rien).

Merci d'avance.

Posté par
Cauchyre : Montrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 18:16

Il faut calculer f^(n)(0).

Posté par
raymond Correcteurre : Montrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 18:24

Je suis sûr que tu l'avais déjà fait.
A plus RR.

Posté par
molpre : Montrer que f est de classe infinie 30-12-06 à 18:31

Et comment procéder pour :
"Il faut calculer f^(n)(0)."


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