Bonjour,

montrer que la fonction est surjective ne suffit pas puisqu'il y a des fonctions surjectives et injectives (les fonctions bijectives).

Par contre, effectivement montrer qu'on peut exhiber 2 polynômes qui ont la même image suffit pour montrer par définition que l'application n'est pas injective.

Ici, on peut prendre par exemple le polynôme constant égal à 1 et le polynôme X .

bonjour,
>>julie_m
le texte demande de montrer que g est un endomorphisme non injectif g étant par hypothèse une application de dans
il ne faut pas oublier de vérifier que c'est bien un endomorphisme(c'est immédiat)

Bonjour,

On peut rappeler que pour les morphismes d'espaces vectoriels injectif équivaut à noyau réduit à 0 .

petite remarque ...
....
"et que donc g est surjective ??"
"montrer que la fonction est surjective ne suffit pas "
....
ici on est en dim finie, donc inj = surj = bij
or deg g(Q)=degQ-1 donc impossible

"Ici, on peut prendre par exemple le polynôme constant égal à 1 et le polynôme X ."

j'aimerai bien connaitre l'image de 1 ?

Oups oui errata, 1 et X ne fonctionnent pas, X et X+1 par contre oui !

sinon 1 et  0  non ?

lol



a+

Merci bien de vos réponses !

Juste un petit truc, pour calculer l'image de X, on fait bien :

g(X) = X(X + 1) - X(X) = X² + X - X² = X

car dans ce cas g(X+1) et g(X) n'ont pas la même image Oo ou alors il faut que l'image de g(R) donne R avec R appartenant à Cn[X] ?

Excusez moi si j'ai mal compris :s

Ouhla non je dis n'importe quoi, en fait :

P(X) = a0 +a1X +...+ apX^p  
donc P(X+1) = a0 + a1(X+1) +...+ ap(X+1)^p

=> P(X+1) - P(X) = a1 + 2a2X + a2 +...+ ap(X+1)^p - apX^p

donc avec X = 0 => a1 + a2 + ... + ap^p

En gros le noyau est la somme des termes constants, il n'est donc pas égal à 0 et g n'est pas injectif

C'est ça ?

Par contre pour le début si je ne me trompe pas il faut aussi montrer que g est une application linéaire ?

Oui le noyau c'est les polynômes constants , oui il faut montrer la linéarité aussi.