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Montrer que IR est un Q-ev de dimension infinie
Rebonjour, c'est encore moi,
je suis toujours plongé dans mes révisions et je rebute sur un exercice,
1) Montrer que 
est un Q-espace vectoriel
2) Soit Q[
2]={a+b2/(a,b)
Q²}, montrer que Q[2] est un sev du Q-ev R. Montrer que (1, 2) est une base de Q[2] et en déduire sa dimension. Est ce queQ[2] est un sous espace vectoriel de R vu comme un R-ev ?
3) Soit n un entier naturel non nul et p1,...pn des premiers distints.
a) Soit (r1...rn) Qn, montrez que
piri=1 si et seulement si 
i {1...n} ri=0
b) Déduire que la famille {ln(p1), ... ln(pn)} est libre
c) en déduire que R comme Q ev n'est pas de dimension finie.
Alors voila mes petites perturbations :
1) J'ai commencé par montrer que R était un Q-sev, en disant que R n'était pas vide, et que soit x et y dans R, 
dans Q,
x+yR, mais d'un j'ai l'impression que j'ai presque rien dit, et de deux je ne suis pas sur que je puisse être aussi direct^^'
Mais enfin donc cette appartenance me permet de dire que R est un Q-sev, donc un Q-ev.
2) Pour montrer que Q[2] est un sev de R(comme Q-ev) pas de problème particulier, c'est comme d'habitude. Pareil pour montrer que c'est une base : je fais remarquer que Q[2]=Vect{1, 2}, puis je vérifie que les deux vecteurs sont bels et bien liés. Mais je ne suis pas sur de comprendre la fin, en quelque sorte on me demande de dire si Q[2] est aussi un R-ev en considérant R comme un R-ev ? Si oui alors apparemment (sauf erreur de ma part c'est vrai aussi non ?)
3) a) Je ne sais pas vraiment, au début je pensais passer par le logarithme mais voila ce que je trouve :
piri=1 <=> ln(piri)=0
<=>
ln(piri)=0
<=>riln(pi)=0
Et là je coince, surtout que ça répond a la question suivante j'ai l'impression.
b) Partant tu même raisonnement, et sachant de a) qu'on a ri=0, j'ai bien iln(pi)=0 <=> i=0 quelque soit i, donc famille libre, je pense qu'une fois le a) terminé ça sera très simple.
c) J'ai une petite idée derrière la tête : on pourrait montrer que Q[ln(p0)] (par analogie a la question 2) est un R-sev, puis supposer que c'est vrai pour n, et donc le démontrer pour n+1, un raisonnement par récurrence donc, puis comme la famille des ln des nombres premiers est libre, alors j'ai une base composée d'une infinité de vecteur (autant de vecteur que de nombres premiers) donc infini, mais est ce le bon raisonnement ou y a t il plus rapide/efficace ?
Merci beaucoup.
Salut 
1) Un sev de quel ev? Ca marche pas ton truc. Essentiellement, reviens à la définition d'un ev. Toutes les justifications sont triviales mais t'as pas vraiment le choix.
2) C'est surement pas un R-ev! Pour que ça soit un R-ev, faudrait que quelque soit l réel et x dans Q[V(2)], lx soit dans Q[V(2)]! Je te laisse charcher un l et un x qui montre que ya un truc pas normal...
3)
a) Commence par supposer que les r_i sont tous des entiers. Que peut-tu dire dans ce cas?
Dans le cas général, comment peut-on s'y ramener?
c) Ben, grâce à la question b), tu sais que pour tout n, t'as une famille libre de n vecteurs... Or dans un ev de dimension finies, le cardinal des familles libres est majorées par la dimension. Donc ben voilà.
Ah oui d'accord pour la 1 je comprend, donc il faut dire que
-R forme un groupe commutatif, pour la loi +,
-R est muni d'une loi externe * tel que :
Pour xR 1*x=x
et que la multiplication par un scalaire de Q est distributive et associative c'est bien cela ?
Si oui alors je vois vraiment pas les justifications a donner^^ elles sont toutes justes par définitions non ?
2) Ah oui d'accord, je comprend mieux maintenant, je m'emmêlais un peu les pinceaux^^
3)a) Bien, si tout les ri sont des entiers alors la seule puissance possible c'est nécessairement 0 puisque pour décomposer 1 en produit de puissances de nombres premiers on a pas beaucoup de choix, mais je suis pas sûr que ça soit très bien expliqué dis comme ça^^',
c) Oui en effet, tout simplement, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué^^
Euh, attention cependant! J'ai dit "entier" mais a priori ils peuvent être strictement négatifs. M'enfin, l'argument est à peu près le même, c'est bien une histoire de décomposition en produit de facteurs premiers.
Euh, je vais peut être dire une bêtise, mais si les ri sont des rationnelles, on peut les écrire sous la forme p/q avec p appartenant a N.
On prendra ri=pi/qi, on pose k le plus petit commun multiple de tout ces qi, et on élève l'égalité a la puissance et on pose k*pi=ai.
On a donc : piai=1 avec les ai entiers.
C'est bien ça ?
Après je comprend intuitivement pourquoi on aura nécessairement les ai=0 (donc les pi aussi) mais je n'arrive pas a trouver une bonne rédaction.
Yep, c'est bien comme ça qu'on revient au cas "r_i entiers".
Après je comprend intuitivement pourquoi on aura nécessairement les ai=0 (donc les pi aussi) mais je n'arrive pas a trouver une bonne rédaction.>> En fait, c'est idiot. Déjà on dit qu'on peut les supposer tous entiers. Après on fait une disctinction de cas:
soit ils sont tous de même signe et au moins l'un d'entre eux est non nul. Alors le membre de gauche est soit >1 (s'ils sont tous positifs) soit <1 (s'ils sont tous négatifs).
Dans l'autre cas, on fait passer ceux qui sont de puissance < 0 à droite et on utilise l'unicité de la décomposition en produtis de facteurs premiers pour en déduire une contradiction.
En effet ça me semble plus correcte que ma démonstration "intuitive"^^
Merci beaucoup bonne soirée !
Bonjour
Juste une remarque: l'exo fait défiler des notions classiques ce qui est très bien.
Mais... si R était un Q-espace vectoriel de dimension finie, il serait dénombrable comme Q...
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