Montrer que l'intersection de deux sev =0

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Montrer que l'intersection de deux sev =0
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Denis79  11-11-23 à 14:28
Bonjour,

J'ai un exercice pour montrer que l'intersection de deux sev est égal à 0.

Le sujet est le suivant : soit deux sev F et G, montrer que FG=0

F= R3 ; x+y+z=0} et G=vect{(1,1,1)}

La correction est la suivante : 

On peut écrire F=vect{(-1,1,0);(-1,0,1)}

Si FG=0 alors on peut écrire :

on arrive alors à :

1=-a-b

1=a

1=b

le système est inconsistant car 1 = -2

Donc FG=0

Je suis d'accord sur tout SAUF sur la conclusion pour moi il aurait fallu que le système soit justement consistant pour avoir FG=0

Pouvez vous m'éclairer, la correction est-elle fausse ou c'est moi qui n'ai pas compris qq chose ?

Merci d'avance
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Camélia re : Montrer que l'intersection de deux sev =0  11-11-23 à 15:16
Bonjour

La correction qui est juste.  Tu as supposé que  (le système) et tu as trouvé une impossibilité. Comme les vecteurs non nuls de G sont tous de la forme , aucun vecteur non nul ne peut appartenir à l'intersection.
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GBZMre : Montrer que l'intersection de deux sev =0  11-11-23 à 15:48
Bonjour,

J'aurais procédé autrement . Les vecteurs de  sont les vecteurs  où . Ensuite on peut regarder à quelle condition sur  un tel vecteur appartient à , c.-à-d. vérifie l'équation de . Pas besoin de s'embêter avec une base de  !
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Camélia re : Montrer que l'intersection de deux sev =0  11-11-23 à 16:07
Bien sur! mais il demandait des explications sur sa correction!
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Denis79re : Montrer que l'intersection de deux sev =0  11-11-23 à 18:04
Merci pour vos réponses. Par contre j'ai du mal a me représenter graphiquement.

Pour moi F est un plan et G une droite. Le fait que FG=0 signifie t il que la droite ne coupe jamais G ? 

Merci 
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GBZMre : Montrer que l'intersection de deux sev =0  11-11-23 à 22:49
C'est une droite vectorielle et un plan vectoriel. Tout sous-espace vectoriel contient l'otigine. Le fait que l'intersection est réduite à {0} veut dire que la droite et le plan ne'ont en commun que l'origine, autrement dit que la droite n'est pas contenue dans le plan.
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Denis79re : Montrer que l'intersection de deux sev =0  12-11-23 à 11:16
Très bien, merci bcp, il me semblait mais je n'étais pas trop sur de moi 
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Denis79re : Montrer que l'intersection de deux sev =0  12-11-23 à 11:35
J'aime bien tout comprendre et j'essai de tracer F et G avec géogébra.

F est le plan vectoriel, il à pour équation x+y+z=0

Pour le tracer dans géogébra j'ai ecrit a(x,y)=-y-x soit z=-y-x ce qui me semble correspondre à l'équation de F.

Mais cela me donne une droite et pas un plan. Je me trompe ou dans mon raisonnement ?

Par ailleurs je ne vois pas comment a partir de G=vect(1,1,1) trouver la droite correspondante. Par une méthode classique je trouve x=y=z...

Merci pour votre aide
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Denis79re : Montrer que l'intersection de deux sev =0  13-11-23 à 19:27
Personne n'est fan de Géogébra 
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GBZMre : Montrer que l'intersection de deux sev =0  15-11-23 à 18:13
Pas besoin de GeoGebra pour voir dans sa tête la droite dirigée par le vecteur  et le plan d'équation  qui est son orthogonal.

Imagine par exemple le cube . La droite est la grande diagonale qui passe par les sommets  et  et le plan celui qui contient le centre du cube et les milieux des 6 arêtes adjacentes ni à  ni à .