Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence-pas de math
Partager :

Montrer que l'intersection de deux sev =0

Posté par
Denis79
11-11-23 à 14:28

Bonjour,

J'ai un exercice pour montrer que l'intersection de deux sev est égal à 0.

Le sujet est le suivant : soit deux sev F et G, montrer que FG=0

F=\left\{(x,y,z) \right\} R3 ; x+y+z=0} et G=vect{(1,1,1)}

La correction est la suivante :

On peut écrire F=vect{(-1,1,0);(-1,0,1)}


Si FG=0 alors on peut écrire :


\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}

on arrive alors à :

1=-a-b
1=a
1=b

le système est inconsistant car 1 = -2

Donc FG=0

Je suis d'accord sur tout SAUF sur la conclusion pour moi il aurait fallu que le système soit justement consistant pour avoir FG=0

Pouvez vous m'éclairer, la correction est-elle fausse ou c'est moi qui n'ai pas compris qq chose ?

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 11-11-23 à 15:16

Bonjour

La correction qui est juste. Tu as supposé que (1,1,1)\in F\cap G (le système) et tu as trouvé une impossibilité. Comme les vecteurs non nuls de G sont tous de la forme \lambda(1,1,1), aucun vecteur non nul ne peut appartenir à l'intersection.

Posté par
GBZM
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 11-11-23 à 15:48

Bonjour,
J'aurais procédé autrement . Les vecteurs de G sont les vecteurs \begin{pmatrix} a\\ a\\ a\end {pmatrix}a\in \mathbb R. Ensuite on peut regarder à quelle condition sur a un tel vecteur appartient à F, c.-à-d. vérifie l'équation de F. Pas besoin de s'embêter avec une base de F !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 11-11-23 à 16:07

Bien sur! mais il demandait des explications sur sa correction!

Posté par
Denis79
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 11-11-23 à 18:04

Merci pour vos réponses. Par contre j'ai du mal a me représenter graphiquement.

Pour moi F est un plan et G une droite. Le fait que FG=0 signifie t il que la droite ne coupe jamais G ?

Merci

Posté par
GBZM
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 11-11-23 à 22:49

C'est une droite vectorielle et un plan vectoriel. Tout sous-espace vectoriel contient l'otigine. Le fait que l'intersection est réduite à {0} veut dire que la droite et le plan ne'ont en commun que l'origine, autrement dit que la droite n'est pas contenue dans le plan.

Posté par
Denis79
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 12-11-23 à 11:16

Très bien, merci bcp, il me semblait mais je n'étais pas trop sur de moi

Posté par
Denis79
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 12-11-23 à 11:35

J'aime bien tout comprendre et j'essai de tracer F et G avec géogébra.

F est le plan vectoriel, il à pour équation x+y+z=0

Pour le tracer dans géogébra j'ai ecrit a(x,y)=-y-x soit z=-y-x ce qui me semble correspondre à l'équation de F.

Mais cela me donne une droite et pas un plan. Je me trompe ou dans mon raisonnement ?

Par ailleurs je ne vois pas comment a partir de G=vect(1,1,1) trouver la droite correspondante. Par une méthode classique je trouve x=y=z...

Merci pour votre aide

Posté par
Denis79
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 13-11-23 à 19:27

Personne n'est fan de Géogébra

Posté par
GBZM
re : Montrer que l'intersection de deux sev =0 15-11-23 à 18:13

Pas besoin de GeoGebra pour voir dans sa tête la droite dirigée par le vecteur (1,1,1) et le plan d'équation x+y+z=0 qui est son orthogonal.
Imagine par exemple le cube [-1,1]^3. La droite est la grande diagonale qui passe par les sommets A=(1,1,1) et B=(-1,-1,-1) et le plan celui qui contient le centre du cube et les milieux des 6 arêtes adjacentes ni à A ni à B.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1673 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !