Bonjour,

voilà, je dois montrer que le graphe d'une fonction continue est fermé dans R.

Voici ma démonstration, dites-moi si c'est juste, ce qui peut-être amélioré et ce qui est faux. Merci.

f est continue sur R donc pour tout a appartenant à R, f est continue en a, c'est à a dire que f(a) existe.
De même, si b appartient à R, f est continue en b et f(b) existe.

Dans un premier temps, on suppose que f est bornée en +inf et -inf.
On s'arrange pour découper R en intervalles fermés [a_i, b_i] 1<=i<=n-1 pour tout n appartenant à N tels que f est monotone sur [a_i , b_i ]. Les intervalles ne se chevauchent donc pas et on a f monotone sur ]-inf, b_0] et [a_n, +inf [
a_i et b_i appartiennent à R.

Si f est croissante sur l'intervalle [a_i, b_i], f([a_i,b_i]) = [f(a_i), f(b_i)]
Si f est décroissante sur l'intervalle [a_i, b_i], f([a_i,b_i]) = [f(b_i),f(a_i)]
(*)
On a supposé que f était bornée en + inf et -inf par l et l' donc
lim f(x) = l si x -> +inf
et lim f(x) = l' si x-> -inf.
Si f est croissante sur l'intervalle ]-inf, b_0], f(]-inf,b_0]) = [l', f(b_0)]
Si f est décroissante sur l'intervalle ]-inf, b_0], f(]-inf,b_0]) = [f(b_0), l']

Je ne détaille pas pour +inf. C'est presque pareil.
Les images des n intervalles fermés sont fermés.
L'union des n images est finie donc le graphe d'une fonction continue bornée en + et - inf est fermé.

On reprend à partir de (*) et on suppose cette fois que f n'est pas bornée en + inf. L'union des intervalles image des intervalles compris entre b_0 et a_n est fermée donc elle est majorée, notons le majorant M et minorée, notons le minorant m. Donc le graphe de f sur [b_0,a_n] est fermé et appartient à [m,M]

Si f n'est pas bornée en + inf, et qu'elle est décroissante, alors le graphe de f appartient à  ]-inf, M] et il est fermé.

Si f n'est pas bornée en + inf, et qu'elle est croissante, alors le graphe de f appartient à  ]m, +inf] et il est fermé.

Si f n'est pas bornée en - inf, et qu'elle est décroissante, alors le graphe de f appartient à  ]m, +inf] et il est fermé.

Si f n'est pas bornée en - inf, et qu'elle est croissante, alors le graphe de f appartient à  ]-inf, M] et il est fermé.

Si f n'est bornée ni en +inf ni en -inf, alors le graphe de f appartient à ]-inf, +inf[ et il est fermé.

Donc dans tous les cas, le graphe de f, fonction continue, est fermé.


Emilie.