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Montrer une divisibilité par récurrence
Posté par lou1100
Bonsoir,
Je ne sais pas dans quel chapitre répertorier cette demande car c'est un chapitre de maths expertes : divisibilité dans 
Je dois montrer par récurrence que 9n-2n est divisible par 7
Initialisation:
Pour n = 0 ;
90 - 20 = 0, 0 est divisible par 7, la propriété est vraie pour n = 0
Hérédité:
On suppose que la propriété est vraie pour un entier n, il existe k 
Z tel que 9n - 2n = 7k
On montre que n + 1 est vraie, c'est à dire, tel que :
9n+1 - 2n+1 = 7k
On a 9n+1 - 2n+1 = 9n x 9 - 2n x 2 =....
Je suis bloquée à partir de cet endroit.
Merci d'avance pour votre aide
salut
lou1100 @ 20-10-2022 à 20:02
Hérédité:
On suppose que la propriété est vraie pour un entier n, il existe k Z tel que 9n - 2n = 7k
On montre que n + 1 est vraie, c'est à dire, tel que :
9n+1 - 2n+1 = 7k
ce n'est pas le même k !!Hérédité:
On suppose que la propriété est vraie pour un entier n, il existe k
Z tel que 9n - 2n = 7k
On montre que n + 1 est vraie, c'est à dire, tel que :
9n+1 - 2n+1 = 7k
alma78 @ 20-10-2022 à 20:14
Bonjour,
9n+1 - 2n+1 = 9n*(7+2) - 2n*2 = 9n*7 + 9n*2 - 2n*2 = 9n*7 + (9n - 2n)*2
À toi de conclure.
Bonjour,
9n+1 - 2n+1 = 9n*(7+2) - 2n*2 = 9n*7 + 9n*2 - 2n*2 = 9n*7 + (9n - 2n)*2
À toi de conclure.
Par récurrence, il existe k
tel que 9(7k) + 7 x 2n= 7(9k+2n) donc 9n+1 - 2n+1 est divisible par 7carpediem @ 20-10-2022 à 20:21
salut
salut
lou1100 @ 20-10-2022 à 20:02
Hérédité:
On suppose que la propriété est vraie pour un entier n, il existe k Z tel que 9n - 2n = 7k
On montre que n + 1 est vraie, c'est à dire, tel que :
9n+1 - 2n+1 = 7k
ce n'est pas le même k !!Hérédité:
On suppose que la propriété est vraie pour un entier n, il existe k
Z tel que 9n - 2n = 7k
On montre que n + 1 est vraie, c'est à dire, tel que :
9n+1 - 2n+1 = 7k
Que voulez-vous dire par cela ?
Je réponds en l'absence de carpediem avec deux exemples numériques :
91 - 21 = 7
1
92 - 22 = 711
Pour n = 1, on a k = 1.
Pour n = 2, on a k = 11.
exactement ce que j'ai dit : tu utilises la même lettre k alors qu'elle ne désigne pas la même chose (le même nombre) ...
Je laisse alma78 répondre pour
Citation :
Par récurrence, il existe k tel que 9(7k) + 7 x 2n= 7(9k+2n) donc 9n+1 - 2n+1 est divisible par 7
Par récurrence, il existe k
tel que 9(7k) + 7 x 2n= 7(9k+2n) donc 9n+1 - 2n+1 est divisible par 7lou1100 @ 20-10-2022 à 20:54
Par récurrence, il existe k tel que 9(7k) + 7 x 2n= 7(9k+2n) donc 9n+1 - 2n+1 est divisible par 7
alma78 @ 20-10-2022 à 20:14
Bonjour,
9n+1 - 2n+1 = 9n*(7+2) - 2n*2 = 9n*7 + 9n*2 - 2n*2 = 9n*7 + (9n - 2n)*2
À toi de conclure.
Bonjour,
9n+1 - 2n+1 = 9n*(7+2) - 2n*2 = 9n*7 + 9n*2 - 2n*2 = 9n*7 + (9n - 2n)*2
À toi de conclure.
Par récurrence, il existe k
tel que 9(7k) + 7 x 2n= 7(9k+2n) donc 9n+1 - 2n+1 est divisible par 7Ton explication n'est pas claire.
Il faut dire que comme 9n - 2n = 7*k (par hypothèse de récurrence), on a donc 9n+1 - 2n+1 = 9n*7 + 7*k*2 c'est à dire (9n + 2*k)*7 ce qui est bien un multiple de 7.
Bonjour,
Veuillez m'excuser pour le temps de réponse.
Je prends note de tous vos messages.
Cela m'aide beaucoup.
Merci pour l'aide apportée, j'y vois plus clair.
Bonne journée
lou1100
Bonsoir,
Je me permets de revenir vers vous pour poster la version "finale" de mon exercice.
Je trouve cela intéressant et la trame de l'exercice peut servir pour d'autres personnes qui auraient un exo similaire
On souhaite montrer que 
n
, 9n-2n est divisible par 7
Initialisation
Pour n = 0
90-20= 0
0 est divisible par 7, la propriété est vraie pour n = 0
Hérédité
On suppose qu'il existe un k tel que P(n) est vraie; P(n) = 9n-2n = 7k
On montre que P(n +1) est vraie, c'est à dire:
9n+1-2n+1 = 7k
9n+1-2n+1
9nx9-2nx2
On pose d'après l'hypothèse de récurrence; 9n = 7k+2n
(7k+2n)x9-2nx2
7k x 9 + 2nx9-2nx2
7k x 9 + 2n(9-2)
7k x 9 +2n(7)
7(k x 9 + 2n)
P(n+1) est vraie
Conclusion
On a montré que la propriété était vraie pour n = 0 puis héréditaire à partir de ce rang.
D'après le principe de récurrence 9n-2n est divisible par 7
A bientôt 
lou1100
Bonne idée de poster une version finale ; mais il y a pas mal de choses qui clochent :
Tu parle de P(n) sans l'avoir défini.
Tu mélange n et k dans l'hypothèse de récurrence.
Tu ne tiens pas compte de la remarque de carpediem sur les lettres k.
Tu écris des "" alors que c'est "=".
Citation :
On souhaite montrer que n, 9n-2n est divisible par 7.
Pour n dans on note P(n) : 9n-2n est divisible par 7.
Initialisation
Pour n = 0
90-20= 0
0 est divisible par 7, la propriété est vraie pour n = 0.
Hérédité
On suppose qu'il existe un n tel que P(n) est vraie ; c'est à dire tel que 9n-2n est divisible par 7.
On montre que P(n +1) est vraie, c'est à dire :
9n+1-2n+1 est divisible par 7.
D'après l'hypothèse de récurrence ; il existe k dans tel que 9n = 7k+2n
On a alors 9n+1 - 2n+1 = (7k+2n)9 - 2n+1
9n+1 - 2n+1 = 7k9 + 2n(9-2).
9n+1 - 2n+1 = 7(9k+2n)
9k+2n est un entier ; donc 9n+1 - 2n+1 est divisible par 7.
Conclusion
On a montré que la propriété était vraie pour n = 0 puis héréditaire à partir de ce rang.
D'après le principe de récurrence 9n-2n est divisible par 7 pour tout n de.
On souhaite montrer que
n, 9n-2n est divisible par 7.
Pour n dans
on note P(n) : 9n-2n est divisible par 7.
Initialisation
Pour n = 0
90-20= 0
0 est divisible par 7, la propriété est vraie pour n = 0.
Hérédité
On suppose qu'il existe un n
tel que P(n) est vraie ; c'est à dire tel que 9n-2n est divisible par 7.
On montre que P(n +1) est vraie, c'est à dire :
9n+1-2n+1 est divisible par 7.
D'après l'hypothèse de récurrence ; il existe k dans
tel que 9n = 7k+2n
On a alors 9n+1 - 2n+1 = (7k+2n)
9 - 2n+1
9n+1 - 2n+1 = 7k
9 + 2n(9-2).
9n+1 - 2n+1 = 7(9k+2n)
9k+2n est un entier ; donc 9n+1 - 2n+1 est divisible par 7.
Conclusion
On a montré que la propriété était vraie pour n = 0 puis héréditaire à partir de ce rang.
D'après le principe de récurrence 9n-2n est divisible par 7 pour tout n de
.je te propose ma version finale :
notons P(n) la proposition : "9n - 2n est multiple de 7"
supposons P(n) vraie pour un entier n ;
le premier terme est multiple de 7 par hypothèse (de récurrence)
le deuxième l'est trivialement par définition (puisque écrit 7 * truc)
donc par combinaison linéaire est multiple de 7
donc la propriété est héréditaire
de plus et 0 est multiple de 7
donc P(0) est vraie
donc d'après le principe/axiome de récurrence la propriété P(n) est vraie pour tout entier n
Bonjour,
Merci à vous pour ces messages, j'en prend note pour ne plus me tromper
Passez une belle journée
lou1100