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montrer une equivalence

Posté par
aya4545 09-02-22 à 18:57

bonjour
un coup de pouce s il vous plait

montrer que \forall z \in \C^* |z-\frac{1-i}{2}|=\frac{\sqrt{2}}{2} \iff |\frac{1}{\bar{z}}-(1-i)|=|\frac{1}{z}|
ce que j ai fait  |z-\frac{1-i}{2}|=\frac{\sqrt{2}}{2} \iff |\frac{z}{\bar{z}z}-\frac{(1-i)}{2\bar{z}z}|=|\frac{\sqrt{2}}{2\bar{z}z}|
\iff |\frac{1}{\bar{z}}-\frac{1-i}{2|z|^2}|= \frac{\sqrt{2}}{2|z|^2}
\iff |\frac{1}{\bar{z}}-\frac{1-i}{2|z|^2}|\frac{2|z|}{\sqrt{2}}= \frac{1}{|z|}   incapable d avancer et merci

Posté par
larrechre : montrer une equivalence 09-02-22 à 19:20

Bonjour,

Tu es sûr du  (1-i) dans   |\dfrac{1}{\bar{z}}-(1-i)|=|\dfrac{1}{z}| ?

Posté par
aya4545re : montrer une equivalence 09-02-22 à 20:28

bonjour
oui larrechje suis sur de l ennoncé

Posté par
larrechre : montrer une equivalence 09-02-22 à 20:58

Ah, alors, je dois faire une erreur de calcul quelque part ou je m'y suis mal pris.

J'avais remplacé \sqrt{2}   par |1-i| et mis |z| en facteur à gauche.

Un autre intervenant aura sans doute une meilleure idée..

Posté par
lakere : montrer une equivalence 09-02-22 à 21:11

Bonsoir,

Suite à ton incitation, larrech
Avec des équivalences entre chaque ligne :

  \left|z-\dfrac{1-i}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

  \left(z-\dfrac{1-i}{2}\right)\left(\bar{z}-\dfrac{1+i}{2}\right)=\dfrac{1}{2}

On développe et on multiplie les deux membres par \dfrac{2}{|z|^2}=\dfrac{2}{z\bar{z}}

2-(1+i)\dfrac{1}{\bar{z}}-(1-i)\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z\bar{z}}=\dfrac{1}{|z|^2}

\left(\dfrac{1}{z}-(1-i)\right)\left(\dfrac{1}{\bar{z}}-(1+i)\right)=\dfrac{1}{|z|^2}

  \left|\dfrac{1}{z}-(1-i)\right|^2=\dfrac{1}{|z|^2}

  \left|\dfrac{1}{z}-(1-i)\right|=\dfrac{1}{|z|}

Posté par
lakere : montrer une equivalence 09-02-22 à 21:24

Des erreurs aux dernières lignes :

   \left(\dfrac{1}{z}-(1+i)\right)\left(\dfrac{1}{\bar{z}}-(1-i)\right)=\dfrac{1}{|z|^2}

  \left|\dfrac{1}{ \bar{z}}-(1-i)\right|^2=\dfrac{1}{|z|^2}

  \left|\dfrac{1}{\bar{z}}-(1-i)\right|=\dfrac{1}{|z|}

Posté par
verdurinre : montrer une equivalence 09-02-22 à 21:39

Bonsoir,
j'ai comme un doute.
On prend z=1-i.

On a bien \left\lvert z-\frac{1-i}2\right\rvert =\frac{\sqrt{2}}2

Mais \left\lvert \frac1z-(1-i)\right\rvert=\left\lvert \frac{-1+3i}2\right\rvert=\frac{\sqrt{10}}2 et \left\lvert \frac1z\right\rvert=\frac{\sqrt{2}}2

Posté par
lakere : montrer une equivalence 09-02-22 à 21:41

Si tu as entendu parler de l'inversion:

  Le cercle et la droite en traits pleins s'échangent dans l'inversion de pôle O et de puissance 1 d'écriture complexe z'=\dfrac{1}{\bar{z}}

montrer une equivalence

Posté par
lakere : montrer une equivalence 09-02-22 à 21:44

Bonsoir verdurin,

Je crois que tu as loupé un conjugué dans le premier module de la dernière ligne (comme moi au début).

Posté par
larrechre : montrer une equivalence 09-02-22 à 21:49

Bonsoir ,

Je n'avais pas vu qu'il s'agissait de \bar z (ma vue n'est plus ce qu'elle était) et obtenu

\left|\dfrac{1}{ {z}}-(1+i)\right|^2=\dfrac{1}{|z|^2}

je donnerai le calcul tout à l'heure.

Posté par
larrechre : montrer une equivalence 09-02-22 à 21:50

Pardon \left|\dfrac{1}{ {z}}-(1+i)\right|=\dfrac{1}{|z|}

Posté par
lakere : montrer une equivalence 09-02-22 à 22:12

>>larrech,

C'est plus "joli"

Posté par
aya4545re : montrer une equivalence 09-02-22 à 23:16

merci infiniment je vous souhaite une bonne nuit

Posté par
larrechre : montrer une equivalence 09-02-22 à 23:25

\left|z-\dfrac{1-i}{2}\right|=\dfrac{1}{\sqrt2}

|z|\left|1-\dfrac{1-i}{2z}\right|=\dfrac{1}{|1-i|}   d'où

\dfrac{1}{|z|}=\left|1-i+\dfrac{2i}{2z}\right|=|i|\left|-i-1+\dfrac{1}{z}\right|=\left|-(i+1)+\dfrac{1}{z}\right|

Après quoi on peut prendre le conjugué de l'un, de l'autre, des deux, ce à quoi je n'avais pas songé.

Posté par
carpediemre : montrer une equivalence 10-02-22 à 10:44

salut

sachant que (1 - i)(1 + i) = 2 = |1 \pm i|^2 alors pour tout z \ne 0 je multiplie par \left| \dfrac {1 + i} z \right|

\left| z - \dfrac {1 - i} 2 \right| = \dfrac 1 {\sqrt 2} \iff \left|1 + i - \dfrac 1 z\right| = \left|\dfrac {1 + i} {z \sqrt 2} \right| \iff \left| \dfrac 1 {\bar z} - (1 - i)\right| = \dfrac 1 {|z|}

car un nombre et l'opposé de son conjugué ont même module ...

Posté par
aya4545re : montrer une equivalence 11-02-22 à 18:54

salut
oui une bonne idée carpediem merci pour tous

Posté par
carpediemre : montrer une equivalence 11-02-22 à 18:58

de rien

Posté par
verdurinre : montrer une equivalence 12-02-22 à 12:38

Un peu tard : en effet je n'ai pas vu la barre au dessus du z.

Pour lake : je crois que l'inversion a disparu des programmes depuis un certain temps.
Ceci étant j'avais vu les choses comme ça, avec une symétrie en plus pour cause de confusion entre \frac 1z et \frac 1{\bar z}


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