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montrer une implication

Posté par
aya4545 28-10-22 à 22:25

bonsoir
incapable de montrer cette implication
montrer que  x^5-x^3+x\geq 3 \implies x^6\geq 5

Posté par
aya4545re : montrer une implication 28-10-22 à 22:31

j ai essayé de montrer que
x^5-x^3+x-1\geq 2\implies x^6-1\geq 4

mais la aussi je bloque
en utilisant geogebra je remarque que l implication est vraie mais incapable de montrer sa véracité

Posté par
ty59847re : montrer une implication 28-10-22 à 22:45

Sauf erreur, la fonction f: f(x)=x5-x3+x est croissante.

Calcule sa dérivée pour le prouver.
Ensuite , calcule f (5^{\frac{1}{6}}) pour vérifier que c'est inférieur à 3.
Ce dernier calcul risque d'être assez compliqué.

Il y a peut-être de meilleures pistes.

Posté par
aya4545re : montrer une implication 29-10-22 à 00:05

mercity59847
tres bonne idée (raisonnement par contraposé)
mais j ai trouvé des problèmes pour justifier
5^{\frac 56}-5^{\frac 12}+5^{\frac 16}-3<0

Posté par
jandri Correcteurre : montrer une implication 29-10-22 à 11:54

Bonjour,

il faut mettre l'hypothèse sous la forme :

x(x^6+1)\geq 3(x^2+1)

puis distinguer les cas x>0 et x\leq0

Posté par
aya4545re : montrer une implication 29-10-22 à 13:40

bonjour merci jandri
x^5-x^3+x\geq 3 \implies x²(x^5-x^3+x)\geq 3 x² \\ \implies x^7-x^5+x^3-3x² \geq 0
or
x\geq 3-x^5+x^3     donc x+x^7 \geq 3x²+3
\implies x(x^6+1) \geq 3(x²+1)

mais je ne vois pas comment conclure  et merci

Posté par
carpediemre : montrer une implication 29-10-22 à 14:10

salut

tu aurais simplement pu reconnaitre une série géométrique dans x^5 - x^3 + x ...

Posté par
aya4545re : montrer une implication 29-10-22 à 14:34

bonjour
merci  carpediem
oui une série géométrique  de raison -x²=q
donc x^5 - x^3 + x= x(\dfrac{x^6+1}{x²+1}) \geq 3     q\neq 1
donc x(x^6+1) \geq 3(x²+1)
et apres je bloque

Posté par
Sylvieg Moderateurre : montrer une implication 29-10-22 à 14:39

Bonjour,
Bravo jandri !

Posté par
carpediemre : montrer une implication 29-10-22 à 14:40

jandri @ 29-10-2022 à 11:54

puis distinguer les cas x>0 et x\leq0

Posté par
carpediemre : montrer une implication 29-10-22 à 14:41

en remarquant que (x^2 + 1)/x = x + 1/x = f(x)

et étudier les variations de f ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : montrer une implication 29-10-22 à 14:43

Messages croisés
@aya4545,
Tu peux déjà en déduire x > 0.
Connaître le signe de x permet de faire une certaine opération sur l'inégalité de jandri.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : montrer une implication 29-10-22 à 14:43

Messages croisés bis.

Posté par
aya4545re : montrer une implication 29-10-22 à 15:24

rebonjour
merci    Sylvieg merci    carpediem  merci    jandari

f(x)=x+1/x  \geq 2   \forall x >0 on ne peut rien conclure

x(x^6+1) \geq 3(x²+1)\geq 18x mais ici encore on ne peut rien conclure

Posté par
Sylvieg Moderateurre : montrer une implication 29-10-22 à 15:30

Je répète :
A partir de l'inégalité x(x^6+1) \geq 3(x²+1), tu peux déduire x > 0.
Connaître le signe de x permet de faire une certaine opération sur cette inégalité.
As-tu tenu compte de ces deux conseils ?

Posté par
aya4545re : montrer une implication 29-10-22 à 15:32

je m excuse f(x)=3x+3/x  \geq 6   \forall x >0 ce qui donne le resultat  merci


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