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montrer une inégalité

Posté par
aya4545 04-09-22 à 16:22

bonjour
prière m aider a terminer cet encadrement
Montrer, pour tout (x,y) ∈ R2 tel que 0 < x < y <= π/2
\frac x y<\frac{sinx}{sin y}<\frac x y .\frac 2 {\pi}

on a  \frac x y<\frac{sinx}{sin y}<\frac x y .\frac 2 {\pi} ssi \frac 2 {\pi}.\frac {\sin x}{x}<\frac {\sin y}{y}<\frac {\sin x}{x}pour la seconde inégalité je l ai faite en montrant que
la fonction g(t)=\frac {\sin t}{t } est décroissante
j ai du mal a prouver la premiere
et merci

Posté par
Ulmierere : montrer une inégalité 04-09-22 à 16:27

T'es sure de ton énoncé ?
Parce que tu es quand même en train de nous dire que \dfrac{x}{y} < \cdots < \dfrac{x}{y} \times \dfrac{2}{\pi}, alors que \dfrac{2}{\pi} < 1

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 04-09-22 à 16:38

je m excuse montrer que
\frac x y<\frac{sinx}{sin y}<\frac x y .\frac {\pi}{2}

Posté par
Ulmierere : montrer une inégalité 04-09-22 à 16:49

L'inégalité \sin(t) < t est j'espère claire pour toi.
Est-il vrai que \sin(t) > \dfrac{2}{\pi}t si 0 < t < 1 ?

Pour t'en assurer, étudie les variation du sinus cardinal sur ]0,1[ et compare 2/pi à la valeur minimale de ce dernier sur ]0,1[

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 04-09-22 à 17:21

\sin(t) < t est assuré par le faite que la fonction sin est concave sur [0 pi/2]donc au dessous de tous ses tangentes ( particulier au point o

d autre part j ai deja trouvé que \frac{2}{\pi} est valeur minimal de g(t)=\frac {\sin t}{t }    sur [0 pi/2]
donc \sin(t) > \dfrac{2}{\pi}t si 0 < t < 1

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 04-09-22 à 17:42

\frac{sinx}{siny}=\frac{sinx}{x}.\frac y{siny}.\frac x y=\frac{g(x)}{g(y)} .\frac x y>g(x).\frac x y>\frac{2}{\pi} \frac x y je ne vois pas ou est  l erreur dans mon raisonnement

Posté par
Ulmierere : montrer une inégalité 04-09-22 à 18:00

Ben y'en a pas
Je te l'écris plus simplement : tu as deux inégalités entre réels strictement positifs

\left\lbrace\begin{array}{lcl} \\ \sin(x) &<& x \\ \\ \sin(y) &>& \dfrac{2}{\pi}y \iff \dfrac{1}{\sin(y)} < \dfrac{\pi}{2}\dfrac{1}{y} \\ \end{array}\right.

Et tu les multiplies membre à membre !

Posté par
Ulmierere : montrer une inégalité 04-09-22 à 18:02

aya4545 @ 04-09-2022 à 17:42

je ne vois pas ou est  l erreur dans mon raisonnement


L'erreur c'est juste d'avoir mis un > au lieu d'un <

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 04-09-22 à 18:13

merciUlmiere

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 04-09-22 à 18:43

je m excuse Ulmiere
ce que j ai ecrit me semble correcte c est juste une minoration moin precise que celle donné dans l exercice
\frac{sinx}{siny}=\frac{sinx}{x}.\frac y{siny}.\frac x y=\frac{g(x)}{g(y)} .\frac x y>g(x).\frac x y>\frac{2}{\pi} \frac x y en effet
<0\frac 2{\pi}<g(y)<1\implies \frac{g(x)}{g(y)} >g(x)>\frac2{\pi}
et merci pour votre accompagnement

Posté par
aya4545re : montrer une inégalité 04-09-22 à 19:11

0<\frac 2{\pi}<g(y)<1\implies \frac{g(x)}{g(y)} >g(x)>\frac2{\pi}


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