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Montrer une inégalité avec des sinus

Posté par
zTony 01-10-16 à 17:19

Bonjour,

Je n'arrive pas du tout à montrer une inégalité.
Il faut que je montre l'inégalité suivante  :

\forall x \in \mathbb{R}, -1 \leqslant \frac{1 - 2 \sin x}{2- \sin x} \leqslant 1

J'ai déjà essayer de partir de l'inégalité de sinus compris entre -1 et 1, mais je trouve un intervalle trop grand.

J'ai aussi essayé de dériver la fonction, mais je ne parviens pas à bien factoriser la dérivée, et tombe ainsi sur un résultat difficilement exploitable.

J'aurai vraiment aimé que quelqu'un m'aiguille sur cet exercice, me donne une piste.


Merci bien,

zTony

Posté par
Lolo49re : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 17:25

Essayer de constituer la fonction f suivante

\\ f(x) = \dfrac{1-2 \sin x}{2-\sin x}- 1 \\

puis de l'étudier, la majoration va (sans doute) en découler. Suivre une démarche similaire pour la minoration.

Posté par
jsvdbre : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 17:26

Bonjour

n'est-ce-pas équivalent à 0 \leq 3(1-sin(x)) \leq 4 - sin (x) ?

Posté par
jsvdbre : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 17:28

n'est-ce-pas équivalent à 0 \leq 3(1-sin(x)) \leq 4- 2sin (x)

Posté par
jsvdbre : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 17:30

L'inégalité de gauche est triviale
Celle de droite donne 0 \leq 1 - sin(x) qui est tout aussi triviale.

Posté par
luzakre : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 17:33

Bonjour !
As-tu pensé à étudier les inégalités 1-\dfrac{1-2\sin x}{2-\sin x}\geqslant0 et \dfrac{1-2\sin x}{2-\sin x}+1\geqslant0 car le signe d'un quotient n'est autre que le produit des signes...

Posté par
luzakre : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 17:37

Cette fois j'en suis sûr ! La fonction "Vérifier la présence de nouvelles réponses" ne fonctionne pas (Windows10, Firefox).
Je remets ce message sur le forum "Site".

Posté par
zTonyre : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 17:37

Ha oui merci... je me sens un peu idiot à vrai dire  ...

Merci jsvdb (ainsi qu'à luzak et Lolo49 bien sûr)

Posté par
aymanemaysaere : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 18:35

Bonjour,

\forall x \in \mathbb{R}, -1 \le \dfrac{1 - 2 \sin(x)}{2- \sin(x)} \le 1 ,

et comme on a 2- \sin(x) >0

donc -2+ \sin(x)\le 1 - 2 \sin(x) \le 2- \sin(x) \iff -2\le 1-3\sin(x)\le 2 - 2\sin(x)

donc \left \{ \begin {matrix} -2\le1-3\sin(x) \\\\ 1-3\sin(x) \le 2-2\sin(x)\end {matrix}

\iff  \left \{ \begin {matrix} -3\le -3\sin(x) \\\\ -1 \le \sin(x) \end {matrix} \iff  \left \{ \begin {matrix} \sin(x)\le 1 \\\\ -1 \le \sin(x) \end {matrix} \iff -1 \le \sin(x) \le 1 .

Posté par
luzakre : Montrer une inégalité avec des sinus 01-10-16 à 21:23

Une autre idée : \dfrac{1-2\sin x}{2-\sin x}=\dfrac{1+2(2-\sin x)-4}{2-\sin x}=2-\dfrac3{2-\sin x} simplifie la démonstration.


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