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morphisme
Bonjour, pitite question, je n'arrive pas a demontrer la proposition suivante, pourtant ca semble simple comme tout :
Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est reduit au neutre.
Mercide votre aide
Soit f un morphisme.
on veut montrer que f injectif <=> Kerf={0}
(<=)
Supposons f(a)=f(b)
Alors f(a-b)=f(a)-f(b)=0
Donc a-b=0
a=b
f est injectif
(=>)
Suppoons f(x)=0
Comme f(0)=0 et f est injectif, on a x=0
Kerf est réduit à {0}
Ca va ?
Nicolas
ya qqchose que je ne comprend pas cest que tuidentifi l'élément neutre du groupe de depart a 0, ce n'est pas tjs le cas ca depend du groupe non?
Juste une histoire de notation.
Soit f un morphisme.
on veut montrer que f injectif <=> Kerf={eE}
(<=)
Supposons f(a)=f(b)
Alors f(a-b)=f(a)-f(b)=eF
Donc a-b=eE
a=b
f est injectif
(=>
Suppoons f(x)=eF
Comme f(eE)=1F et f est injectif, on a x=eE
Kerf est réduit à {eE}
Ca va ?
Nicolas
Bah ecoute nicolas je suis desolé mais c'est vraiment pas clair pour moi, parce que ici tu prend la soustraction (ou l'addition si tu preferes) comme loi interne mais ca doit valoir dans le cas general de tous les groupes quelque soit la loi de composition interne...
Soit f un morphisme de (E,.) dans F(,*).
on veut montrer que f injectif <=> Kerf={eE}
(<=)
Supposons f(a)=f(b) et cherchons à montrer que a=b
f(a.b')=f(a)*f(b)'=f(a)*f(a)'=eF (où ' désigne l'inverse)
Donc a.b' appartient à Kerf
Donc a.b'=eE
et a=b
Donc f est injectif
(=> )
Soit x dans Kerf
On veut montrer que x=eE
on a f(x)=eF
Or on a par ailleurs f(eE)=eF
Comme f est injectif, on en déduit x=eE
Kerf est réduit à {eE}
Nicolas
Salut !
Bah, on peut faire les "conversions" :
ce que l'on lit
"" devient "
"
"" devient "
"
en particulier :
"" devient "
"
"" devient "
"
etc.
On pourrait même faire :
::
::
::
::
::
::
::
::
etc.
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