Je précise que p est un nombre premier impair et que donc l'ensemble est bien un groupe

Bonsoir,
je peux exhiber des applications de dans lui même qui ne sont pas des morphismes de groupes ( pour la multiplication ).

Bonsoir Verdurin,

Vous voulez dire que l'exercice sous-entend que je dois trouver les applications concernées? Parce qu'effectivement, s'il s'agit de trouver les morphismes de groupe là ça a un sens, mais on me dit de vérifier que l'application C vérifie telle propriété sans m'écrire formellement l'expression de C. Pensez-vous qu'il y a une coquille dans le sujet?

merci

Bonjour
une phrase qui commence par "vérifier que C ..." suppose que le lecteur sait de quoi on parle quand on écrit "C"
tu es certain que C n'a pas été défini avant ? même comme résultat d'une question antérieure ?

ou que la ligne suivante ne contient pas un truc genre ?

Bonsoir Lafol,

non elle n'est définie nulle part. Il s'agit donc d'un oubli, je vais contacter le prof

merci beaucoup à toi

si c'est en bas de page, vérifie le haut de la suivante, ou alors ça peut avoir sauté à la photocopie car trop près de la marge ?

lol je te garantis j'ai tout retourné la feuille, de haut en bas, de gauche à droite, nulle part n'est mentionnée cette mystérieuse application C J'ai envoyé un mail au prof.
En tout cas merci pour votre aide! ça n'a l'air de rien mais ça m'a beaucoup aidé!

Bonjour,

Je dois démontrer que -1 est un carré modulo p si et seulement si p = 1 mod(4)
Sachant que p est un nombre premier impair.

J'essaie déjà de faire le sens direct =>, mais je suis bloqué au niveau de ma réflexion.

J'ai montré que, par hypothèse, j'ai sois p = 1 mod(4), soit p = -1 mod(4)
Je veux montrer que si p = -1 mod(4) j'obtiens une absurdité.

Cela fait 1h30 que j'essaie des choses mais je n'arrive à rien. Je pense que pour me débloquer il faut que j'arrive à utiliser l'hypothèse que p est un nombre premier, mais je ne vois pas comment.

Pourriez-vous me donner une indication?

Merci beaucoup

*** message déplacé ***

Bonjour,

Après une heure et quelque de labeur supplémentaire, j'ai trouvé en raisonnant par analyse synthèse que le x que je cherche tels que x² = -1 mod(4) doit être égal à (p-1)/2

*** message déplacé ***

Bonjour

L'argument est le fait que tu cherches un carré dans un groupe commutatif d'ordre p-1. Les carrés forment un sous-groupe d'ordre (p-1)/2.

*** message déplacé ***

Bonjour Camélia,

Merci d'avoir pris le temps de me répondre.
Je ne comprends pas cet argument :/ Moi, j'étais partis sur une approche uniquement arithmétique, ce n'est pas pertinent?

*** message déplacé ***

Si, ça marche de tas de manières. Je voulais simplement te signaler une possibilité, qui me parait plus élégante. Peut-être j'ai visé trop haut par rapport à ce que tu as déjà vu. Sais-tu qu'un sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique? Si oui, je te détaillerai la méthode à laquelle je pense.

*** message déplacé ***

Bonjour Camélia,

Non, nous avons très peu étudié les groupes cycliques, je pense qu'on les étudiera l'année prochaine.

Pour le sens réciproque si je suppose que  p = 1 mod(4)
J'ai dis que p = 4k +1, k
donc p-1 = 4k
(p-1)/2 = 2k


Néanmoins je n'arrive pas à montrer que 4k² = -1 mod(4k+1)

Pour le sens direct je ne sais toujours pas comment faire :/

Saurais-tu me débloquer?

merci beaucoup Camélia

*** message déplacé ***

Je suis très vexée, mais je n'y arrive pas par méthode élémentaire. J'utilise toujours quelque chose de plus que la simple manipulation. Il y a sûrement un moyen astucieux d'écrire les congruences, mais je ne le vois pas!

Je viens de faire une petite recherche et je n'ai trouvé personne qui le fasse directement!

*** message déplacé ***

En fait, avant cette question il y avait 3 autres questions:
a) Vérifiez que l'application C: est un morphisme de groupe.
b) Déterminez le noyau de C puis le cardinal de son image.
c) Prouvez que Im C = { x

D'après  ce que vous dîtes, je suppose que je dois déduire le résultat de ces questions.
Le problème c'est que le professeur ne m'a pas donné l'expression de l'application, donc j'essayais de résoudre l'exercice sans ces questions en attendant qu'il m'envoie l'expression de l'application, mais visiblement c'était peine perdue.

Merci beaucoup à toi Camélia

*** message déplacé ***

Franchement… bien sur que tu dois utiliser ces résultats!
C est l'élévation au carré, et ça mène à la méthode que je préconisais!

C'est vraiment pas raisonnable de donner un énoncé incomplet. Tu te rends compte du temps perdu?

Moi je m'en vais, quelqu'un prendra la suite.

*** message déplacé ***

En fait c'est pas moi qui ai fourni un énoncé incomplet... c'est mon professeur!
Je ne pouvais pas exploiter ces questions car le professeur ne m'avait pas fourni l'expression du morphisme!

Eh effectivement, j'ai aussi perdu mon temps car ça fait depuis ce matin que je me casse la tête à chercher bêtement, à résoudre cette question de manière indépendante, pensant que je peux traiter cette question sans celles du dessus.

Je suis vraiment désolé, je ne voulais pas vous faire perdre votre temps, j'étais persuadé que cette question pouvait se traiter indépendamment, le reste ne pouvant pas être traité à l'heure actuelle car le sujet donné est incomplet.

merci beaucoup pour votre aide

Tu aurais donné l'énoncé complet (tel qu'il t'a été donné) dès ce matin, on t'aurait dit que C était pour "carré" .....

Effectivement, je suis pas très malin... :/

merci beaucoup

et même dès hier soir ....

Je pense que n'a pas pour carré lorsque : ton analyse-synthèse me semble mal partie !
La "racine carrée " de serait mais je ne vois pas de loi générale pur le moment !

Effectivement Luzak

je m'étais arrêté à p=5 et p=13

Bonsoir,

Pour le noyau de C j'ai dis qu'on cherche l'ensemble des éléments de Z/pZ tels que, leur carré vaut 1 (pour simplifier l'écriture je mets pas les barres de classe).
On cherche donc les x de G tels que x² = 1 ie x² = 1 mod(p)
Si x = 1 mod(p) alors évidement x² = 1 mod(p)
mais si x = 1 mod(p) cela veut dire que x et p sont premiers entre eux.
Mais comme on a supposé p premier et x < p, alors x et p sont premiers entre eux.
Car, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, x se décompose en facteurs premiers, mais il n'a qu'un seul facteur en commun avec p: 1.
Donc Ker C = Z/pZ?

Quand j'applique à des valeurs particulières j'obtiens des résultats saugrenus, est-ce que mon raisonnement est correct?

merci beaucoup

Je pense qu'il sera difficile d'ignorer que ce groupe est le groupe multiplicatif d'un corps qui n'est pas de caractéristique 2.
En particulier le groupe est cyclique et si est non nul , admet exactement deux racines carrées, à savoir .

Si est un carré, il existe tel que
.
Par conséquent est d'ordre 4 et on a bien diviseur de l'ordre du groupe.

Réciproquement si soit un générateur du groupe cyclique.
Pour on a donc est une racine carrée de 1, autre que 1.

En ce qui concerne ton dernier message je crois que tu oublies que l'ordre du groupe multiplicatif est et non .

En reprenant un exemple simple tu vois bien que le noyau de l'application "carré" n'est pas . D'ailleurs cet ensemble contient qui n'est pas dans le groupe.

En effet Luzak j'avais pas fait attention :/ Je te remercie énormément d'avoir pris le soin de me répondre en prenant le temps de détailler ton raisonnement

Voici une solution n'utilisant pas explicitement le groupe cyclique.

est le groupe multiplicatif des entiers non nuls modulo .
Puisque est commutatif, est un morphisme du groupe dans lui-même.
Le noyau est d'ordre 2 car
et il n'y a pas de diviseur de 0 dans et puisque est impair.
L'image est donc un sous-groupe de d'indice 2, donc d'ordre

On a : relation élémentaire dans un groupe fini.

Supposons qu'il existe tel que . Alors les éléments de , de cardinal strictement supérieur à , sont racines dans le corps   du polynôme ce qui est impossible.
On a donc établi :

......................
Si est un carré dans , il existe un élément d'ordre 4 donc .
Réciproquement, si on a :
donc

................................
PS : avec un peu de triche car le résultat sur le nombre maximum de racines d'un polynôme dans un corps (commutatif) est le principal argument pour démontrer que le groupe multiplicatif d'un corps (commutatif) fini est cyclique !

"du polynôme évidemment" !

Bonjour Luzak,

merci beaucoup d'avoir simplifié ton message précédent.
Il y a néanmoins quelques petites bricoles que je n'ai pas encore vu, en particulier les indices. Là je comprends mieux pourquoi le Ker est égal à { -1, 1} . Néanmoins je ne comprends pas pourquoi on peut directement en déduire le cardinal de l'image.
J'ai essayé de calculer l'image de plusieurs ensembles pour essayer d'entrevoir une justification mais je ne trouve pas. Sachant que les seules connaissances que j'ai en algèbre sont celles de Licence 1 et on a seulement vu les bases des bases (eh dans le sens propre pas dans le sens mathématiques )

D'ailleurs, après ces questions le professeur me demande:


1) Démontrez que -1 est un carré modulo p si et seulement si p = 1 mod(4)
2) Trouvez les entiers relatifs (x,y,z) tels que x²+y²= 127z²
3) Pour chaque classe de congruence modulo 4 décidez s'il y a une infinité de nombres premiers dans cette classe.

Pour la 1) j'ai trouvé.
Pour la 2) je pense avoir trouvé la réponse, néanmoins pour la 3 je ne vois pas comment faire. J'essaie d'utiliser la 1 et le théorème fondamental de l'arithmétique, sans succès

pourriez-vous me venir en aide?
merci beaucoup!

Je vais récapituler le sujet pour plus de clarté:

Sujet:

Soit p un nombre premier impair.

1) Vérifier que l'application C:  (Z/pZ)* -> (Z/pZ)* est un morphisme de groupe.
                                                                       x -> x²

2) Déterminez le noyau de C puis le cardinal de son image.
3) Prouvez que Im C = { x (Z/pZ)* / =1}
4) Démontrez que -1 est un carré modulo p si et seulement si p = 1 mod(4)
5) Trouvez tous les entiers relatifs (x,y,z) tels que x²+y²= 127 z²
6) Pour chaque classe de congruence modulo 4 décidez s'il y a une infinité de nombres premiers dans cette classe.

Mon travail:
1) C'est fait.
2) Pour le Ker C c'est fait, mais je ne comprends pas comment calculer le cardinal de son image en s'aidant du Ker C.
3) C'est fait
4) C'est fait
5) Je pense avoir trouvé
6) Je ne sais pas comment faire pour y répondre en m'aidant de la 4) et du théorème fondamental de l'arithmétique

Si tu ne connais pas la notion d'indice d'un groupe, tu peux remarquer simplement que chaque élément de est le carré de deux éléments distincts de et en déduire

Bonsoir Luzak,

En faisant plusieurs exemple j'arrive à en convenir mais je n'arrive pas à comprendre comment c'est possible? Comment s'en rendre compte? A-t-on vraiment besoin de connaître des propriétés/théorèmes où ne peut-on pas le voir par un raisonnement plus direct? (merci de ta patience)

Au final j'ai aussi des difficultés avec les 4) et 5).
Pour le 4) j'ai continué à chercher, chercher.. et j'en suis arrivé à :

=> Si on suppose que - 1 est un carré modulo p alors il existe tels que l² = -1.
Avec
Donc  
En particulier
On en déduit que l² =

On sait de plus que p est un nombre premier impair donc soit p = 1 mod(4), soit p = 3 mod(4). Supposons par l'absurde que p = 3 mod(4).
Alors l² =
ie l² = avec 2q+1 un nombre impair
Ce qui est absurde.
D'où p = 1 mod(4)

Pour ce qui est du sens réciproque je suis coincé.

Pour la 5) je n'ai aucune piste.. je teste des trucs mais ça ne donne rien. Cela semble entièrement lié à la 4 mais je n'arrive pas à utiliser cette liaison (d'ailleurs je ne la vois pas formellement).

Pourrais-tu m'éclairer de ta science ? ah ah

Merci beaucoup

Oulala.. mon 4) est erroné.. retour à la case départ

Pour le sens réciproque j'ai trouvé quelque chose de bon.
Pour le sens direct je ne trouve pas de bons raisonnements.. :/

désolé pour ce triple post, mais je pense avoir trouvé:

Voici une nouvelle preuve pour le raisonnement direct qui cette fois me semble correcte:
Soit l tels que:
l² = -1



Comme dit, soit p = 1 mod(4) soit p = 3 mod(4) puisque par hypothèse p est premier et impair.

Alors, si on suppose par l'absurde p = 3 mod(4)
p = 4q+3,


ie
or  
Donc . Donc C(l) = l² = 1. Contradiction avec le fait qu'il faut que l² vaut -1.

Si tu ignores tout sur les groupes (y compris la définition et propriété de l'ordre d'un groupe et d'un élément) l'aide s'avère difficile !
Par exemple je ne vois aucune justification à  :

Citation :
Soit l tels que:
l² = -1
quel rapport avec la ligne précédente ?

Citation :
Alors, si on suppose par l'absurde p = 3 mod(4) p = 4q+3,
qui est l ? pourquoi la puissance vaudrait 1
ie
or   pourquoi ce ?
Donc . Donc C(l) = l² = 1. Pourquoi l'appartenance au noyau ?Contradiction avec le fait qu'il faut que l² vaut -1.

Bonjour Luzak,

Déjà, encore une fois, merci énormément pour le temps que tu prends pour m'aider.

Mon idée était que..ah beh oui je me suis trompé :/
le l est l'élément de tels que l² = -1
Je partais du principe de -1 appartenait à l'image, j'aurais donc du en conclure que l² appartient aussi à l'image, la formule du 3) s'appliquerait alors à l².
l'idée de mon c'était que comme l² vaut 1, alors suivant les puissances q paires ou impaires, j'obtiens   vaut 1 ou -1, donc vaudrait l ou -l.Or comme supposément   , donc l = 1 ou l = -1, donc

Je viens de comprendre avec ton explication ta démonstration qui repose sur l'ordre de b, merci.

ça marche, c'est déjà beaucoup plus claire dans ma tête merci.

d'accord, je vais essayer tout cette matinée de bosser sur le sujet pour voir si je ne vois pas un chemin possible de résolution.

Merci énormément à toi Luzak!!

Bonjour,

Si tu ne connais pas les groupes cycliques, l'ordre d'un groupe, etc..., tu connais certainement le petit théorème de Fermat : si p est premier, alors pour tout x dans (Z/pZ)*, alors .
Donc pour p premier >=3, .

- si p=1 (4), (p-1)/2=q est pair, alors il existe x tel que x^q=-1 (car Im(c) inclus strictement dans (Z/pZ)*)
- s'il existe x telque x^2=-1, alors p=3(4) est impossible, je te laisse faire.

Bonjour Croa347,

déjà merci pour ton aide.
Je suis d'accord pour le petit théorème de Fermat,
mais comment arrives tu à passer à ? ça ne me semble pas trivial?

, puis comme p-1 est pair, et qu'on est dans un corps, c'est comme dans R.

d'accord merci croa347.

J'essaie de faire la 5) mais je n'ai aucune piste, je fais que tourner en rond pour trouver les (x,y,z) tels que x²+y² = 127z².

J'ai vu que 127 est un nombre premier impair, mais j'ai du mal à mettre en relation cette question avec les précédentes. Aurais-tu une piste?

merci beaucoup

Pour le sens réciproque du 4):

Si p = 1 mod(4)

Soit x0 un générateur de (Z/pZ)*
on pose p = 4q+ 1.





alors
alors
Mon but est alors de montrer qu'on a nécessairement
et alors on aura bien
et - 1 sera le carré de

pensez-vous que me démonstration est correcte? merci

Déjà modulo 127 tu dois avoir .
Si on aurait ce qui est impossible modulo 127 (qui n'est pas congru à 1 modulo 4).
La seule solution (modulo 127) est donc .

Reste à voir si tu peux trouver une solution .

ça marche, merci beaucoup luzak

Pour montrer que vaut nécessairement -1, j'ai dis que si:


Alors, comme x est d'ordre p-1, p-1 | 2q, ie 4q | 2q, ce qui est absurde!

Ainsi vaut nécessairement -1

Cela me parait correct.

Ouf!! Merci beaucoup Coa347 ^^

Le message du 20-01, 04:37 donnait la solution en utilisant un générateur du groupe cyclique !
Tu ne l'avais pas lue ?
Et je croyais que tu ne voulais pas utiliser la notion de groupe cyclique ?

Bonsoir,

Pour la 5) j'ai fait une disjonction de cas.

J'ai essayé de résoudre mon équation dans.
Comme
Mon équation dans revient à

Si :


Si :


Si :


Si :


Finalement, S =

Pensez vous que, comme je suis parvenu à résoudre mon équation dans , alors j'ai bien mes solutions sur ?
Trouvez-vous que le raisonnement est bon?

Merci beaucoup d'avance!