Bonsoir,
si A est inversible il me semble assez facile de montrer que f est bijective.
Si A n'est pas inversible alors il existe une matrice M non nulle telle que AM soit la matrice nulle ( ça je pense qu'il faut que tu le démontre. )

Si A est inversible,
On peut définir l'application


et
f est bijective car g est sa réciproque
Pour le point 2, ça me paraît plus obscure

Essaie ce que propose verdurin avec la transposée de la comatrice de A comme valeur pour M

Je prends


Donc


Donc

Finalement on a que le

J'avoue être un peu perdu, il n'y a pas de raison particulière pour que AM soit la matrice nulle de taille 3

Si je me trompe pas, le coefficient colone 1 ligne 1 est non nul car il s'agit du déterminant de A qu'on suppose non inversible donc donc AM n'est pas la matrice nulle

A commute toujours avec la transposée de sa comatrice, en toute dimension pas seulement 3, et le produit est .

Si A nest pas inversible, le produit est donc nul bien que la comatrice ne le soit pas forcément.

Utilise le theoreme du rang pour trouver celui de la comatrice et etablir sa non nullité dans le cas n=3 si A est non nul

J'avoue ne pas trop avoir compris l'idée du théorème du rang, voici ce que j'ai fais:
-Si A inversible, f est bijective
-Si A n'st pas inversible, on a

Or
Si jamais on trouve la moindre matrice non nulle, on pourra conclure sur l'injectivité car     f est injective   ! Allons-y:
On a que
On suppose A non nul car déjà traité avant donc:
-Si Rang(A) = 3, impossible car on suppose A non inversible
-Si Rang(A) = 2, il existe alors au moins une matrice 2X2 inversible donc par définition de la comatrice, elle aura au moins un coefficient non nul donc  
-Si Rang(A) = 1, forcément

Donc on peut seulement conclure que si Rang(A) = 2,  f n'est pas injective.
Si Rang(A)=1,  on a deux colonnes qui sont combinaison linéaire des deux autres donc forcément si on mutliplie A par la matrice dont C1 sont les solutions du système, C2 et C3 nuls on aura toujours AM = 0 avec M différent de 0_3 donc f non injectif.

Maintenant il me reste à montrer que A non inversible implique que f n'est pas surjective ?

Oui, c'est à peu près ça que j'entendais te faire faire avec mon théorème du rang
C'est plutôt f non injectif f non surjectif que tu veux montrer. Comme on a déjà montré que A non inversible f non injectif, on aura le résultat que tu annonces. Par contraposition il suffit de montrer que f surjectif f injectif.


La surjectivité de est la même selon que l'on considère comme un morphisme de groupes ou comme un morphisme d'espaces vectoriels parce que dans les deux cas, ça veut dire simplement dire que
Et en l'occurence f est un endomorpshime...