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Morphisme de R-modules
Salut,
C'est une petite question mais elle me fait me dire que je n'ai pas bien compris quelque chose.
Dans un exercice on se donne un anneau noétherien ,
un module finement généré et
un morphisme de
-modules.
On suppose que est injective et on me demande si
est surjective. Je dirais oui en appliquant le premier théorème d'isomorphisme pour les modules,
donc
Mais en même temps en prenant intègre et en voyant
comme
et
la multiplication par un élément non inversible et non nul on a que
est injective mais pas surjective non ?
Quelqu'un peut m'aider ?
Bonjour,
le problème vient d'ici :
l'égalité est vraie si tu adoptes le point de vue de la catégorie des modules (et encore), mais totalement fausse en terme ensembliste.
Que penses-tu de :
est-ce une Z-application linéaire ? Est-elle injective ? Quelle est son image ? Conclusion ?
Bonne journée
Merci pour ta réponse.
Oui c'est un contre exemple, effectivement l'image n'est pas du tout égale à 
. Mon exemple marchait aussi non ?
D'accord je comprends. En fait je pense que la confusion venait du fait que j'étais peut etre trop dans les groupes finis. En effet un sous groupe d'un groupe infini peut être isomorphe avec le groupe, sans être égal pour autant. Pour moi le fait qu'ils étaient isomorphes et l'un inclu dans l'autre impliquait forcément l'égalité ensembliste.
Merci encore d'avoir répondu.
Oui tout à fait, d'ailleurs remarque que mon exemple est un sous-cas des tiens, tu en as fourni une pléthore même !
On tombe vite dans le piège quand on prend l'habitude un peu exagérée d'écrire que deux groupes sont égaux alors qu'ils sont simplement isomorphes (même si c'est justifiable), je comprends, aucun problème.
Avec plaisir !
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