Bonjour à tous!

J'ai fait un exercice de maths, mais je ne suis pas sûr de la correction (à laquelle je n'ai pas accès).
Ca serait très gentil de me corriger:

Déterminer tous les morphismes continus de (R,+) dans (R,+).

On procède par analyse-synthèse:

Soit f une telle fonction. (x,y)², f(x+y) = f(x) + f(y) .

Dans N: f(0) = 2f(0). Donc f(0)=0.
On pose = f(1).
Une récurrence immédiate montre que n, f(n) = n.

Dans Z: on a f(0) = 0 = f(n - n) = f(n) + f(-n).

Alors f(-n) = -f(n) = -n.

Dans Q: On a f(p/q) = p*f(1/q) (récurrence sur les positifs et les négatifs). Et f(1/q) = (1/q)*. (récurrence).
Donc f(p/q) = (p/q)*.

Finalement, dans R:

Par densité de Q dans R, x_n, tel que lim (xn) = x [n+].

Et f(xn) = xn*.

Par passage à la limite, lim f(xn) = f(x) = *x. Et puisque f est continue en tout point de R:

f(x) = x.


Finalement, les morphismes continus de (R,+) dans (R,+) sont de la forme f(x) = *x, avec R.

Et on fait la réciproque, plus ou moins immédiate...


Merci d'avance pour toute correction, pas seulement sur le résultat mais aussi sur la mise en forme !