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Morphismes du groupe symétrique dans C
Etudiant en Maths Spé, j'ai décidé de me remettre dans la tête quelques exos faits en début d'année.
Seulement, y en a un que je n'arrive pas à résoudre complètement :
Déterminer les morphismes du groupe symétrique ( Sn, o ) danc ( C*, . )
On cherche donc par analyse et synthèse une fonction f telle que, quels que soient sigma[k] et sigma[l] deux éléments de Sn, on ait :
f( sigma[k] o sigma[l] ) = f( sigma[k] ).f(sigma[l])
Là, il apparait clair que l'application qui a une permutation associe sa signature est une solution, c'est ce qui m'apparait et ce qui est écrit dans la correction que j'ai noté en cours.
Seulement, mes notes s'arrêtent là... rien pour prouver que c'est le seul, rien pour en trouverun autre...
Si vous pouviez m'aider à finir mon exo, ça me rendrait bien service, là je sèche.
De plus, le raisonnement analyse synthèse reste obscur pour moi, serait-ce possible que vous l'expliquiiez un peu, en prenant pour exemple cet exercice ?
Merci d'avance.
Salut,
Il n'y a en que deux : la signature et l'identité
Une permutation s'écrit comme produit de transpositions donc il suffit d'évaluer la valeur de toute transposition t=(i,j).
Indices :
. On a t^2 = 1 donc f(s) = +-1 pour toute permutation s
. Si deux transpositions t et t' ne sont pas disjointes alors f(t)=f(t')
. Deux transpositions de support disjoint ont même image par f.
Donc, si je reprend là ou je me suis arrêté cela donne :
f( sigma[k] o sigma[l] ) = f( sigma[k] ).f(sigma[l]) )
Or, toute permutation sigma se décompose en produit de transpositions
Il suffit donc d'évaluer cette propriété des morphismes seulement pour les transpositions ;
Prenons T1 et T2 deux transpositions quelconques,
on veut : f ( T1 o T2 ) = f(T1) * f(T2)
Mais après je ne vois pas du tout comment exploiter tes indices...
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