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Moyenne avec la fréquence

Posté par
Coucou3443 17-09-20 à 08:14

Bonjour, dans un exercice d'un livre il est demandé de montrer que dans le cas de données discrètes { \alpha _1, \alpha _2, ..., \alpha _p }, le tableau des fréquences permet de calculer la moyenne par la formule : \sum_{i=1}^{p}{f_i\alpha _i}

Dans la correction , l'auteur montre que cette formule se démontre en regroupant les termes par classes et utilise une méthode que je ne connais pas. En effet, il fait :
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{p}{\sum_{x_i=\alpha _j}^{}{x_i}}
Si quelqu'un peut m'expliquer ce qu'il a fait, en séparant la somme initiale en deux sommes, cela m'aiderait bien . Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 09:14

salut

franchement il n'y a aucun lien entre l'énoncé et le corrigé ... qui parle de regroupement par classe ...

si N est l'effectif total et n_i l'effectif de la valeur a_i on a trivialement f_i = \dfrac {n_i} N et cela suffit pour prouver le calcul de la moyenne ...

d'ailleurs on passe de valeurs notées a_i à un calcul de termes notés x_i

la formue du corrigé est une simple façon compliquée de déterminer l'effectif de la valeur a_i

le premier membre est "la formule du calcul de la moyenne"

le deuxième membre compte le nombre de fois où x_i prend la valeur a_i (donc détermine sont effectif

je trouve ce formalisme inutile et peu pédagogique ... (du moins dans un premier temps)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 10:08

Bonjour,
Je me permets d'essayer d'expliquer l'histoire du regroupement par classes sur un exemple.
Avec la série de 10 entiers (7,13,9,9,7,13,9,9,7,9) :
x1 = 7, x2 = 13, x3 = 9, x4 = 9, x5 = 7, .... , x10 = 9.
1 = 7, 2 = 13, 3 = 9.
n = 10 et p = 3.

Dans \; \dfrac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{x_{i}} = \dfrac{1}{10}\sum_{j=1}^{3}{\sum_{x_{i}=\alpha _{j}}^{}{x_{i}}} , on a :

{\sum_{x_{i}=\alpha _{1}}^{}{x_{i}}} = \alpha _{1} + \alpha _{1} + \alpha _{1} , \; {\sum_{x_{i}=\alpha _{2}}^{}{x_{i}}} = 5\alpha _{2} , \; {\sum_{x_{i}=\alpha _{3}}^{}{x_{i}}} = 2\alpha _{3}

D'où \; \dfrac{1}{10}\sum_{j=1}^{3}{\sum_{x_{i}=\alpha _{j}}^{}{x_{i}}} = \dfrac{1}{10} (3\alpha _{1} + 5\alpha _{2} + 2\alpha _{3}) .

Posté par
GBZMre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 10:14

Bonjour,

J'ai un avis assez différent de carpediem.

On a n données x_1,\ldots,x_n qui peuvent prendre p valeurs a_1,...,a_p.
On regroupe les données par valeurs. S'il y a n_j données parmi les x_i qui valent a_j, la somme des données dans ce paquet est

\sum_{x_i=a_j} x_i = n_j a_j .
La somme de toutes les données est bien sûr la somme des sommes par paquets :

\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{j=1}^p  n_ja_j

La fréquence de la valeur a_j est f_j=n_j/n.  En divisant l'égalité ci-dessus par n, on a bien que la moyenne des données s'exprime à l'aide de la fréquence des valeurs par

\sum_{j=1}^p f_ja_j.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 10:18

Bonjour GBZM,
Je pense que nos explications se complètent

Posté par
GBZMre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 10:27

Oui, j'ai vu ton message après avoir écrit le mien.

Posté par
carpediemre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 11:17

je suis bien d'accord avec vous ... mais l'emploi du terme classe est inapproprié (et je vous rejoins d'ailleurs ensuite dans ce que j'explique : avant dernière ligne de mon premier post)

on a n valeurs qui prennent p modalités : certaines modalités apparaissant éventuellement plusieurs fois dans ces n valeurs

une classe est un intervalle ...

dans le fond nous disons tous la même chose : pour calculer a + a + a + b + b (et ce quel que soit l'ordre) on peut calculer 3a + 2b ...

Posté par
carpediemre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 11:22

et je suis bien d'accord que \sum_{x_i = a_j} x_i = \sum_{x_i = a_j} 1a_j = a_j \sum_{x_i = a_j} 1 = n_j a_j où n_j est l'effectif de la modalité a_j ...

mais ce formalisme est-il nécessaire ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 11:26

Citation :
dans le fond nous disons tous la même chose : pour calculer a + a + a + b + b (et ce quel que soit l'ordre) on peut calculer 3a + 2b ...
C'est tout à fait ça dit plus simplement

Posté par
GBZMre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 12:22

Heu, carpediem :

Citation :
franchement il n'y a aucun lien entre l'énoncé et le corrigé

N'était-ce pas exagéré ?

Citation :
ce formalisme est-il nécessaire ?

C'est toi qui écrit \sum_{x_i = a_j} x_i = \sum_{x_i = a_j} 1a_j = a_j \sum_{x_i = a_j} 1 = n_j a_j.  Où vois-tu ça ailleurs que dans ton message ?

Posté par
carpediemre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 14:14

certes ... mais comment obtient-on le coefficient n_j dans ta première formule LaTeX ? (si ce n'est en développant ta formule plus explicitement) ?

le coefficient n_j n'est-il pas \sum_{i,j} \delta_{x_i,a_j} ? ("pseudo ?) généralisation du symbole de Kroneker ?)

(ce n'était que pour te répondre)

sinon pour le début je suis d'accord, c'est pourquoi j'ai prolongé mon développement dans mon premier post (les deux "avant-dernières lignes !!)

PS : je sais bien que pour les racines d'un polynome on utilise la même idée : on parle des racines x_i ... (indistinctes) à valeurs dans les racines multiples distinctes ...
dans ce cas ça me semble avoir un intérêt dans divers raisonnement ... mais ici est-il besoin d'un tel formalisme

PS : on montrait la "formule" de la moyenne avec les fréquences en collège à une certaine "époque" et on ne compliquait pas ainsi !!!
mais simplement en utilisant la définition d'une fréquence (quotient de l'effectif d'une modalité par l'effectif total)

PPS : maintenant on fait cela en première ...

Posté par
GBZMre : Moyenne avec la fréquence 17-09-20 à 15:19

carpediem @ 17-09-2020 à 14:14

certes ... mais comment obtient-on le coefficient n_j dans ta première formule LaTeX ? (si ce n'est en développant ta formule plus explicitement) ?


Tout simplement :
GBZM @ 17-09-2020 à 10:14


On regroupe les données par valeurs. S'il y a n_j données parmi les x_i qui valent a_j, la somme des données dans ce paquet est

\sum_{x_i=a_j} x_i = n_j a_j .

S'il y a n_j données qui valent a_j, leur somme est n_j a_j. Il ne me semble pas que ce soit d'un formalisme excessif. Si ?
Mon but était simplement de répondre à la question de Coucou 3443 sur la "séparation de la somme initiale en deux sommes", correspondant à faire des paquets par valeurs des données, et faire la somme par paquets.
Je pense que tout a été dit et qu'il est inutile d'épiloguer. Je sors.


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