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Niveau Maths sup
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[MPSI]DM fonction de Weierstrass

Posté par
Marleympsi
09-12-17 à 12:07

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide sur une question de mon dm car je suis complétement bloquée. Il s'agit de la question suivante:
Soit a\in [0,1], , soit b un entier naturel multiple de 4.
On a fn(x)=\sum_{k=1}^{n}{a^k e^(ib^k\Pi x)}
Soit x\in R, montrer que la suite fn(x) est convergente.

J'ai tout d'abord écris l'exponentielle en fonction de cosinus et sinus, puis je l'ai séparée pour avoir la partie réelle et la partie imagine afin de montrer la convergence de Re vers Re(l) et de Im vers Im(l). Mais depuis je n'arrive pas à avancer...
Merci d'avance de votre aide.

Posté par
etniopal
re : [MPSI]DM fonction de Weierstrass 09-12-17 à 15:08

C'est quoi ce b ?

C'est   f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}{a^k e^{ik{\pi}x}  que tu as voulu écrire ?

Posté par
Marleympsi
re : [MPSI]DM fonction de Weierstrass 09-12-17 à 15:11

Non non c'est bien exp(ib^k\Pi x)

Posté par
etniopal
re : [MPSI]DM fonction de Weierstrass 09-12-17 à 15:37


Pour montrer que pour tout x la suite  n    f_n(x) =  \sum_{k=0}^{k=n}{}    e^{ib^k\pi{x}}    converge  il n' y a que Cauchy .

Posté par
Marleympsi
re : [MPSI]DM fonction de Weierstrass 09-12-17 à 15:39

Cauchy? Je crois que mon prof de maths a déjà vaguement évoqué ce nom mais il n'est plus au programme apparement

Posté par
luzak
re : [MPSI]DM fonction de Weierstrass 09-12-17 à 15:53

Bonjour !
Il est clair que pour a=1,\;2x\in\Z il n'y a pas convergence.

Peut-être as-tu a\in[0,1[ ? A vérifier !

Posté par
perroquet
re : [MPSI]DM fonction de Weierstrass 09-12-17 à 15:55

Bonjour, Marleympsi.

Tu cherches donc à démontrer que   \sum a^k e^{i b^k \pi x} est convergente.
Pour cela, il suffit de démontrer que la série est absolument convergente.
C'est bien le cas si a \in (0,1[.
Si a=1, la série est divergente puisque le terme général ne tend pas vers 0.

Posté par
Marleympsi
re : [MPSI]DM fonction de Weierstrass 09-12-17 à 15:58

Effectivement a\in]0,1[, désolée

Posté par
Marleympsi
re : [MPSI]DM fonction de Weierstrass 09-12-17 à 15:59

Désolée mais je ne vois pas ce qu'est une série?



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