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mpsi : équations différentielles

Posté par smily_didi (invité) 27-09-07 à 20:09

Bonsoir à tous
J'ai un exercice sur les équations différentielles sur lequel je bloque. Voici l'énoncé et mes tentatives de réponses :

On considère l'équation différentielle :
(Ek) x*y''(x)+2*y'(x)+k*x*y(x) = 0 et on note Sk l'ensemble des solutions de cette équation sur +*.

Question 1 : (presque trouvée sauf la fin) Déterminer k pour la fonction f(x) = (e^x)/x soit une solution de (Ek) sur +*. On choisit cette valeur de k pour la première question. Montrer que g(x) = (e^(-x)/x) vérifie la même équation différentielle sur +*.
En déduire Sk et déterminer l'unique solution qui tend vers 1 en 0.
f solution de (Ek) x*f''(x)+2*f'(x)+k*x*f(x) = 0
f(x) = e^x / x
f'(x) = (x*e^x-e^x)/x²) en dérivant, et
f''(x) = (x²*e^x-2*x*e^x+2*e^x)/x^3

on remplace dans (Ek) et je trouve à la fin k=-1
Pour g(x) = e^(-x)/x
g'(x) = (-x*e^-x - e^(-x))/x²
g''(x) = (x²*e^(-x)+ 2*x*e^(-x)+2*e^(-x))/x^3, on remplace dans (Ek), et je trouve à la fin 0 = 0 donc g solution de (Ek) (avec k = -1)
Pour trouver Sk, j'ai utilisé le Wronskien : w(x) = f(x)*g'(x)-f'(x)*g(x), je trouve :
w(x) = (-2/x²) sur +*, w(x) jamais nul sur cet intervalle, donc j'end éduis que
Sk= {*f(x) + *g(x) / , }
mais ensuite je n'arrive pas à trouver l'unique solution qui tend vers 1 en 0. Dois-je trouver une solution particulière? Ou remplacer x par 0? Je ne vois pas comment faire...

Question 2 :  On prend k quelconque. Pour y solution de (Ek) on pose y(x) = (z(x)/x. Montrer que z est solution d'une équation différentielle que l'on résoudra. En déduire Sk (On distinguera 3 cas selon que k=0, k =²>0, k = -²>0).
(je ne vois pas trop, j'aimerais avoir des pistes de réflexion).

Question 3 : Montrer que pour toute valeur de k il existe une solution ayant pour limite 1 en 0.
je crois qu'il faut utiliser la question 2 qui regroupe tous les cas de valeurs de k possibles, mais comme je n'ai pas réussie la limite de la question , je ne peux pas le faire)

Voilà pour l'exercice. Quelqu'un pourrit-il me corriger et me donner des pistes de réflexion SVP? Merci d'avance à tous et bonne soirée.

Posté par
raymond Correcteurmpsi : équations différentielles 27-09-07 à 20:41

Bonsoir.

Tu as : 3$\textrm f(x) = \fra{\lambda.e^x + \mu.e^{-x}}{x}

Tu veux que la limite en 0 soit 1. Comme le dénominateur tend vers zéro, le numérateur doit en faire autant. Tu as donc la condition 3$\textrm\lambda = - \mu

Tu te retrouves donc avec 3$\textrm f(x) = \lambda \fra{e^x - e^{-x}}{x}

Pour la suite : soit tu connais sh(x), soit tu fais un développement limité, soit tu fais intervenir les taux d'accroissements en rajoutant au numérateur - 1 + 1.

Dans tous les cas, tu trouveras 3$\lambda = \fra{1}{2}

A plus RR.

Posté par smily_didi (invité)re : mpsi : équations différentielles 27-09-07 à 21:50

Bonsoir
Merci beaucoup pour votre aide, j'ai compris la question 1.
Cependant, j'ai un doute pour la question 2 : pour montrer que z(x) est solution d'une équation différentielle, je sais que pour y solution de (Ek) y(x) = z(x)/x. Mon idée était de dériver y(x) en fonction de z(x) et de remplacer dans (Ek). Mais je ne sais pas si c'est une bonne idée.
Pouvez-vous me guider SVP?
Merci encore et bonne soirée

Posté par smily_didi (invité)re : mpsi : équations différentielles 29-09-07 à 19:39

bonjour
Pour la question 2, je dérive y(x) deux fois et j'ai
y'(x) = (x*z(x)-z(x))/(x²)
y''(x) = (x*z'(x) -2*z(x))/(x^3)
Je remplace dans (Ek) et j'obtiens : z''(x) +k*z(x) = 0
Je fais l'équation caractéristique en fonction de : ² +k = 0, donc =i*(k) ou =-iracine de (k)
mais dans tous les cas de l'énoncé, j'obtiens =0 donc je ne comprends pas trop.
Dois-je faire les solutions réelles et complexes?
S0={*exp(iracine(k)+*exp(-iracine(k)} (complexes)
S0={*cos(racie(k)+*sin(racine(k)} (réelles)
Quelqu'un pourrait-il confirmer ou non mon idée SVP?
Et je ne vois pas de méthode générale pour la question 3.
Merci d'avance et bonne soirée à tous

Posté par smily_didi (invité)re : mpsi : équations différentielles 01-10-07 à 18:55

bonsoir à tous
quelqu'un pourrait-il m'aider pour cet exercice SVP? Au moins pour la question 3 SVP.
Merci d'avance

Posté par
raymond Correcteurre : mpsi : équations différentielles 01-10-07 à 19:58

Bonsoir.

2°)

Je trouve aussi z" + kz = 0

Je pense que tu as dû voir ce type en cours.

¤ k = 0.

Donc z" = 0 ==> z' = a ==> z = ax + b ==> y = a + 3$\fra{b}{x}

¤ k > 0, k = 2$\alpha²

Comme tu l'écris, tu auras :

3$\textrm z = u.exp(i\sqrt{k}) + v.exp(-i\sqrt{k}), avec u et v complexes conjugués.

Effectivement, on revient à l'écriture réelle du type : z = a.cos(2$\sqrt{k}x) + b.sin(2$\sqrt{k} \\ \\ x) = a.cos(2$\alphax) + b.sin(2$\alphax)

¤ k < 0

Alors : 3$\textrm z = a.exp(\alpha x) + b.exp(-\alpha x)

3°)

Je me permets de remplacer "alpha" par "a".

D'après 2°) :

k = 0 ==> y = A + 3$\fra{B}{x}. On trouvera une limite de 1 en 0 ssi : A = 1 et B = 0

k > 0, k = a² ==> y = A.3$\fra{cos(ax)}{x} + B.3$\fra{sin(ax)}{x} aura pour limite 1 en zéro en

prenant A = 0 et B = 1/a

k < 0, k = - a² ==> y = A.3$\fra{e^{ax}}{x} + B.3$\fra{e^{-ax}}{x}

en prenant A = 1/a et B = - 1/a, on aura bien une limite de 1 en 0.

Sauf erreurs de frappe !! A plus RR.


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