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[MPSI] Groupes
Bonjour,
J'aimerais de l'aide pour cette exercice sur les groupes,j'arrive à voir et à bidouiller pour trouver ce qu'il se passe le plus souvent mais j'aimerais que quelqu'un me présente si possible la rédaction à suivre pour ces questions... Merci d'avance !
Nous allons dans cet exercice déterminer tous les groupes de cardinal 6. Soit donc G un tel groupe.
1) Montrez que si G admet un élément d'ordre 6 alors G est isomorphe à U6
> Comment suis-je censé démontrer rigoureusement l'isomorphisme ?
On suppose désormais qu'aucun élément de G n'est d'ordre 6.
2) On suppose que G admet un élément x d'ordre 3, on note H=<x> et qu'il existe y n'appartenant pas à H d'ordre 3, on note K=<y>.
M.q. H inter K = {e}. Quel est le cardinal de H union K ?
> J'ai fait cette question par l'absurde, je trouve que le cardinal est de 5...
3) En déduire que les éléments de G\{e} ne peuvent pas être tous d'ordre 3 et que G admet donc un élément x d'ordre 2.
> On peut hypothétiser deux groupes de cardinal 3. On a alors 5éléments de G. Si on prend le 6éme élément de G, il ne peut rester seul ni engendrer un groupe de cardinal 3 d'apres ce que l'on a vu ci-dessus. J'aimerais que l'on m'aide à formaliser cette preuve.
4) On note H=<x>. On suppose que tous les éléments de G/H sont d'ordre 2. Soit z n'appartenant pas à H et K = <x,z>. Montrer que xz est d'ordre 2, que xz=zx et en déduire que K est un sous groupe de G de cardinal 4. En déduire qu'il existe y appartenant à G/H d'ordre 3.
> Là je suis totalement perdu... Surtout pour l'égalité...
5) Montrer que G={e,x,y,y²,xy,xy²}
6) Montrer que yx=xy ou xy=xy²
7) Montrer que si yx=xy alors xy est d'ordre 6, conclusion ?
> Car on a un deuxième groupe de cardinal 6 non isomorphe à U6... ?
8) En déduire qu'il existe (à isomorphisme pres) exactement deux groupes de cardinal 6
>??
Bonjour,
1) U6, c'est , je suppose. Soit
. Tu peux considérer l'homomorphisme de groupes
donné par
. Que se passe-t-il si
est d'ordre 6 ?
3) Tu suppose que le 6e élément est encore d'ordre 3, et tu arrives à une contradiction en trouvant un 7e élément. Tu as l'idée, il suffit de l'écrire le plus rigoureusement possible. Essaie !
4) Tu voulais écrire , sans doute ? Montrer que
est d'ordre 2 n'est pas alors trop difficile, non ? Ensuite, quel est l'inverse de
? (On peut l'obtenir de deux façons).
Bonjour,
Je suppose que U6 désigne l'ensemble des racines 6 ième de l'unité dans les complexes (par analogie avec U les racines de l'unité)
Oui en effet c'est U6 =)
Voila ce que j'ai fait pour la 1 et la 3 :
1) Soit G un groupe d'ordre 6
Soit x € G / <x> = 6
Donc <x> est un groupe cyclique d'ordre 6
comme <x> est inclut dans G et de même cardinal que G
Alors <x> = G
G est un groupe de cardinal 6 engendré par un élément
G est donc isomorphe à U6
3) card(HuK) = 5, card(G)=6 et HuK est inclus dans G
Donc il existe un unique c / c€G et c n'appartient pas à HUK
M.q. <c> =/= 3
On suppose <c>=3
Soit <c> = {c,e, c^(-1)}
<c> est inclut dans G
Donc c-1 € G
<x>n<c>={e}
<y>n<c>={e}
Et HuKu{c}=G
Donc c-1=c
Donc c=e
Ce qui est absurde car c n'appartient pas à HuK (et <c>=3)
Donc <c> =/= 3
Donc les éléments de G\{e} ne sont pas tous d'ordre 3
Donc il existe un élément c de G / <c> = 2 (théorème de Lagrange à utiliser pour expliquer que si ce n'est ni de cardinal 2 ni de cardinal 3...)
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