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MPSI intégrale

Posté par powerflower (invité) 01-11-07 à 18:12

bonjour,
je dois calculer l'intégrale suivante: du/(x²cos²u+sin²u)
les bornes sont x et [0;pi/2[
on me deit que calculer cette intégrale en posant v=(1/x)tanu mais je n'arrive pas à la calculer. ce qui me gène c'est qu'il y ait un x alors qu'on doit intégrer par rapport à u. si quelq'un pouvait me donner un indice...
merci

Posté par nasty_fate (invité)re : MPSI intégrale 01-11-07 à 18:39

Posons: (bonsoir)

dv=(\frac1{x})(1+tan(u)^2)du

Posté par powerflower (invité)re : MPSI intégrale 01-11-07 à 18:53

euh j'ai pas compris normal dv=(1/x)(1/(cos²u)) non?

Posté par powerflower (invité)re : MPSI intégrale 01-11-07 à 18:54

non c'est bon j'ai vu l'autre dérivé de tan(x) est 1+tan²x

Posté par powerflower (invité)re : MPSI intégrale 01-11-07 à 18:57

le probème c'est que je n'arrive pas à retrouver le v je me retrouve avec intégrale de x/((1+tan²x)(x²cos²u+sin²u))*dv

Posté par
lyonnaisre : MPSI intégrale 01-11-07 à 19:09

Bonjour powerflower

v = (1/x).tan(u)

dv = (1/x).(1+tan²(u)) du = (1/x).(1+(vx)²) du

cos²(u) = 1/(1+tan²(u)) = 1/(1+(vx)²)

sin²(u) = tan²(u).cos²(u) = (vx)²/(1+(vx)²)

D'où :

du/(x².cos²(u) + sin²(u)) = (x.dv/(1+(vx)²).(1/[x²/(1+(vx)² + (vx)²/(1+(vx)²] = (1/x).(dv/(1+v²))

Donc quand tu intègres tu as la dérivée de arctan, je te laisse finir ...

A+ Romain

Posté par
lyonnaisre : MPSI intégrale 01-11-07 à 19:10

Oups, quelque oubli dans la fermeture des parenthèses pour la dernière ligne :

du/(x².cos²(u) + sin²(u)) = (x.dv/(1+(vx)²).(1/[x²/(1+(vx)²) + (vx)²/(1+(vx)²)] = (1/x).(dv/(1+v²))

N'hésites pas si tu as des questions

Posté par powerflower (invité)re : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:12

je trouve (1/x)arctanv c'est bien ça?

Posté par
lyonnaisre : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:14

Oui ça c'est la primitive, donc si tu ne veux pas changer les bornes, tu remplaces le v par (1/x).tan(u)

Tu obtiens : (1/x).arctan(tan(u)/x) entre x et epsilon.

Ok ?

Posté par powerflower (invité)re : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:25

ok ok merci beaucoup

Posté par
lyonnaisre : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:30

de rien

Bonne soirée !

Posté par
gui_toure : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:32

Bonsoir

Lyonnais, comment fais-tu pour mettre ce smiley ?

Posté par
lyonnaisre : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:36

Privilège " MPSI intégrale " je crois ...

Posté par
gui_toure : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:37

tssss ...

Posté par
H_aldnoerre : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:39

Je m'incruste
un smiley c'est ni plus ni moins qu'une image, si tu y tiens voila ou il est stocké :
https://www.ilemaths.net/img/smile56.gif

entre les balises img ça doit faire l'affaire.
(au passage salut lyonnais )

Posté par
lyonnaisre : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:40

Salut H_aldnoer

Remarque pertinente :D

Posté par
gui_toure : MPSI intégrale 01-11-07 à 20:41

Ok Merci Beaucoup H

Posté par powerflower (invité)re : MPSI intégrale 02-11-07 à 08:44

j'ai f(x)=x(udu)/x²cos²u+sin²u
je dois calculer f(x)+f(1/x) et pour f(1/x) je dois m'aider en posant u=pi/2-v
pour f(x) j'obtiens (pi/2)arctan((1/x)tan(pi/2)) mais pour f(1/x) j'obtiens x((pi/2)-v)dv)/((1-cos²v)+x²cos²v) et je bloque après....

Posté par
lyonnaisre : MPSI intégrale 02-11-07 à 10:16

(re)Bonjour

Ne calcul pas séparament, laisse toi guider pr l'énoncé.

\Large{f(x)=x\Bigint_{x}^{\epsilon} \frac{u.du}{x^2.cos^2(u)+sin^2(u)}

Donc :

\Large{f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}\Bigint_{x}^{\epsilon} \frac{u.du}{(\frac{1}{x})^2.cos^2(u)+sin^2(u)} = x\Bigint_{x}^{\epsilon} \frac{u.du}{x^2.sin^2(u)+cos^2(u)}

Là tu fais le changement de variable proposé par l'énoncé (attention, les bornes changent) :

\Large{f(\frac{1}{x}) = x\Bigint_{\epsilon}^{x} \frac{(\frac{\pi}{2}-v)(-dv)}{x^2.cos^2(v)+sin^2(u)} = x\Bigint_{x}^{\epsilon} \frac{(\frac{\pi}{2}-v)(dv)}{x^2.cos^2(v)+sin^2(u)} = -f(x) + \frac{\pi.x}{2}\Bigint_{x}^{\epsilon} \frac{dv}{x^2.cos^2(v)+sin^2(u)}

Et tu en déduis le résultat avec le premier calcul que tu as effectué, puisque tu connais la valeur de la dernière intégrale.

ok ?

Romain

Posté par
lyonnaisre : MPSI intégrale 02-11-07 à 10:37

Bien sur dans la dernière ligne, il n'y a que des v :

\Large{f(\frac{1}{x}) = x\Bigint_{\epsilon}^{x} \frac{(\frac{\pi}{2}-v)(-dv)}{x^2.cos^2(v)+sin^2(v)} = x\Bigint_{x}^{\epsilon} \frac{(\frac{\pi}{2}-v)(dv)}{x^2.cos^2(v)+sin^2(v)} = -f(x) + \frac{\pi.x}{2}\Bigint_{x}^{\epsilon} \frac{dv}{x^2.cos^2(v)+sin^2(v)}

Posté par powerflower (invité)re : MPSI intégrale 02-11-07 à 14:34

je trouve f(x)+f(1/x)=(/2)arctan((tan(/2))/x)ce qui me paraît faux....


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