Salut !

pour la 1), calcule la somme des (-1)^k*t^k pour k allant de 0 a (n-1) en utilisant que c'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison (-t).


pour la 2°, il suffit d'intégrer l'égalité précedente, et de permuter la somme et l'intégral (la somme est finit, donc c'est juste la linéarité de l'intégral...)

bonsoir : merci pour ta réponse. Pour la question 1, est-il possible d'utiliser une récurrecne? Car je ne trouve pas avec ta méthode.

Bonjour,

ca va etre compliqué une récurrence.

Que vaut la somme ?

bonjour,
somme de (k=0 à (n-1) de (-t)^k=
1+(-t)+(-t)²+...+(-t)^n-1 donc suite géométrique de raison (-t) et de 1er terme 1
cela vaut (1-(-t)ⁿ)/(1+t)
et quand on ajoute avec l'autre partie de la somme, on obtient bien (1/(1+t)).
Merci beaucoup rouliane
J'ai une autre question : pour la question 2 : je multiplie d'abord par (t)^x des deux côtés de la relation obtenue en (1) pour ensuite intégrer?
Merci encore et bonne soirée (c'est vrai que c'est plus simple qu'avec une récurrence )

je suis bloquée avec la question 2 pour l'intégrale :
je trouve (0 à 1) (t^x)/(1+t) dt = somme (k=0 à n-1) de (-1)^k * t^(k+x) + (-1)^n*(-t^(n+x)/(1+t)) dt (j'ai distribué t^x dans la somme)
je retrouve bien Rn(x) = (-1)^n*((t^(x+n)/(1+t)) mais pas Sn(x). Y a t-il une formule pour calculr Sn(x), ou me suis-je trompée? Quelqu'un pourrait-il m'aider SVP? Merci à tous pour votre patience bonne soirée

Pour trouver Sn(x) il suffit d'intervertir somme et intégrale et de calculer

ok, je pesnsais donc faire une intégration par parties, avec
u(t) = (-1)^k
v'(t) = t^(k+x)
u'(t) = 0
v(t)=(k+x)*t^(k+x-1)
mais après je ne sais pas si c'est bon.

Pourquoi une intégration par parties ?
On peut calculer directement une primitive de t^(k+x). Le (-1)^k est une constante ici ( elle dépend pas de t )