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[MPSI] Suites Adjacentes

Posté par
nic13 09-10-06 à 22:53

Bonjour,

Je suis coincé dans un exo dont l'énoncé est le suivant :

Montrer que les suites (Un) et (Vn) définies par :

Uo=1, Vo=2, (2/Un+1)=(1/Un)+(1/Vn) , Vn+1=(Un+Vn)/2
sont rationnelles, adjacentes et que leur limite est racine carrée de 2.

Pour montrer qu'elles etaient rationnelles, j'ai utilisé la récurrence. Mais je bloque pour montrer qu'elles sont adjacentes.(J'ai essayé Un+1-Vn+1, je trouve -(Un-Vn)²/2(Un+Vn), je sais pas quoi en faire, ni étudier le signe).

Quelqu'un aurait-il une idée pour m'aider?

Merci d'avance.

Nicolas

Posté par
Roulianere : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:02

Bonsoir,

Déjà, il est clair que les 2 suites sont à termes positifs.

Pour etudier la monotonie des suites (U_n) et (V_n) , on se rend compte qu'il faut connaitre le signe de V_n-U_n.

Ensuite, gràace à ça, on pourra étudier la monotonie des suites ( par récurrence )

Posté par
raymond CorrecteurMPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:03

Bonsoir.
Si je cherche un+1 - vn+1, je trouve un résultat assez simple.
Sauf erreur :
3$\textrm u_{n+1} - v_{n+1} = \frac{(u_n - v_n)^2}{2(u_n + v_n)}
A plus RR.

Posté par
nic13re : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:17

J'arrive a en deduire que Vn est decroissante ( avec Vn+1 - Vn).
Pour Un+1 - Un j'obtient (Un*Vn-Un²)/(Un+Vn), comment étudier le signe de ce quotient?

Posté par
raymond CorrecteurMPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:25

Désolé, une faute de frappe : j'ai oublié de taper un signe " - " devant ma fraction.

Posté par
Roulianere : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:25

Mets Un en facteur

Posté par
nic13re : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:28

Ah oui, que je suis bête!

Posté par
nic13re : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:29

Merci!

Posté par
nic13re : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:40

Je dois etre vraiment fatigué.
On a démontré que Vn decroissante et que Un croissante.
Maintenant, il manquerait plus que lim (Un-Vn)=0 (ou Un+1-Vn+1) pour que les 2 suites soient adjacentes.
Mais cette limite est pour moi impossible à résoudre??

Merci d'avance.

Posté par
Roulianere : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:46

On a 3$V_{n+1}-U_{n+1}=\frac{(V_n-U_n)^2}{2(U_n+V_n)}
Or (V_n-U_n)^2=(V_n-U_n)(V_n+U_n)

D'où : 3$ \fbox{V_{n+1}-U_{n+1}=\frac{(V_n-U_n)}{2}}

Vois-tu comment faire maintenant ?

Posté par
Roulianere : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:50

oublie mon message, je suis fatigué aussi

Posté par
nic13re : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:52

J'etais en train d'essayer de chercher avec ce que tu me proposais.

Posté par
nic13re : [MPSI] Suites Adjacentes 09-10-06 à 23:59

pour la derniere question de mon exo je vois comment faire :
on note lim un=lim vn=l
(Un+1)(Vn+1)=Vn*Un
Ainsi par itération, Vn*Un=Vo*Uo

lim VnUn = VoUo

d'où quand n tend vers + infini, l*l=2

donc l= racine de 2

-(racine de 2) impossible car suites de termes positifs

Sinon tjs pb pour adjacente....

Posté par
Roulianere : [MPSI] Suites Adjacentes 10-10-06 à 00:02

Une idée peut-etre : on va essayer de majorer V_{n+1}-U_{n+1}

On a V_{n+1}-U_{n+1}=\frac{(V_n-U_n)(V_n-U_n)}{2(U_n+V_n)}.
On va majorer la numérateur et minorer le dénominateur.

Pour le numérateur, on a V_n-U_n \le V_n ( car U_n \ge 0 ) donc \fbox{(V_n-U_n)(V_n-U_n) \le (V_n-U_n)V_n}

Pour le dénominateur, on a \fbox{U_n+V_n \ge V_n} ( ( car U_n \ge 0 )

Finalement, on a V_{n+1}-U_{n+1} \le \frac{(V_n-U_n)(V_n)}{2V_n}, c'est à dire : 3$ \blue \fbox{\fbox{V_{n+1}-U_{n+1} \le \frac{(V_n-U_n)}{2}}}.

Ensuite, par récurrence tu peux trouver une majoration de V_{n+1}-U_{n+1} par une suite qui converge vers 0.

Dis moi si tu vois une erreur dans mon raisonnement

Posté par
nic13re : [MPSI] Suites Adjacentes 10-10-06 à 00:21

Je viens de trouver quelque chose de bcp simple :

on a demontré que un-vn<0 soit un<vn

on a donc uo<un<vn<vo

Un croissante et majorée par vo
Vn decroissante et minoree par uo

donc un converge vers une limite l
et vn converge vers une limite l'

on a donc lim Vn+1 = l'
     soit lim (Un+Vn)/2 = l'

d'où (l+l')/2 = l'
     (l+l') = 2l'

donc l = l'

soit lim un -vn = 0

Posté par
Roulianere : [MPSI] Suites Adjacentes 10-10-06 à 14:10

oui, évidemment, c'est ça qu'il fallait faire, j'suis bête


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