Heu a priori ça dépend de la norme, je suppose que c'est la norme de la convergence uniforme. Tu sais qu'une suite de fonctions continues convergent uniformément a une limite continue. Donc comme les polynomes sont continues...
Plus généralement, l'ensemble des fonctions continues est fermé (et même complet) pour la norme uniforme!

En fait c'est pour la norme quadratique, mais vu que la norme uniforme est plus fine, ça marche non ?

Salut,
Plus généralement, l'ensemble des fonctions continues est fermé (et même complet) pour la norme uniforme!
fermé dans quoi?
Ce que tu veux appeler fermé est justement la complétude (genre de propriété intrinsèque de fermeture).

Est-ce que je peux dire, alors :
Soit f un élément de l'adhérence de l'ensemble des polynomes. Alors f est limite d'une suite de polynomes, au sens de la norme uniforme, mais aussi au sens de la norme quadradique (car elle est moins fine). Les polynomes étant continus, f est continue. Donc f appartient à l'ensemble des fonctions continues sur [0,1].
Ca marche...?

Non, c'est totalement faux !

tu dois prendre une suite de fonction polynome qui converge en moyenne quadratique vers une fonction f et montré que f est continu.

et la convergence en moyenne quadratique n'implique pas la convergence uniforme.


il y a cependant deux problemes :

1) si tu utilise la norme quadratique, il va aussi falloir preciser dans qu'elle espace on ce place : en effet la norme quadratique n'est pas une norme sur l'ensemble des fonction continu par morceaux ! en géneral pour l'utiliser on se restraint aux fonction continu... et si on fait sa la question na plus aucun interet !


2)je n'en suis pas sur, mais il me semble que ce résultat est faux !

Salut,
attention Ksilver, on a bien une norme sur l'ensemble considéré, mais dans le pire des cas ce n'est pas essentiel pour avoir une topologie (une jauge suffirait par exemple)
Ensuite, on peut se restreindre aux fonctions continues tout en gardant de l'intéret à la question qui deviendrait "montrer que l'ensemble est complet" pour la norme 2.

Ensuite, effectivement si r<s alors la norme r est plus petite que la norme s.
Toi tu te servirais en fait de l'équivalence ici implicitement.
Si fn converge en norme 2, alors elle converge en norme infinie (pourquoi?). Vu que la norme infinie conserve la continuité et vue l'inégalité des normes, la limite en norme 2 est continue.

Mais ceci utilise donc bel et bien l'équivalence des normes...
Attention donc.

En fait, Ksilver l'ensemble des applications continues n'est effectivement pas complet pour la norme 2 et c'est trivial.
La question est de savoir si une suite de fonction polynômiale converge toujours vers une fonction continue pour la norme 2, ce qui est nettement différent.

a+

Mais je comprends pas tout là. Les normes sont équivalentes en dimension finies, et là on est en dimension infinie ; ça reste valable pour la norme 2 et la norme uniforme ?

Le truc c'est que j'ai exprimé la norme infinie puis la norme quadratique d'une fonction f, que j'ai montré que la norme quadratique était plus petite. A ce moment là, on ne peut pas dire que si une suite de fonctions continues converge pour la norme uniforme, elle converge pour la norme quadratique ?

Ah ce coup ci je suis pas d'accord otto :

j'ai dit que :
"en effet la norme quadratique n'est pas une norme sur l'ensemble des fonction continu par morceaux !" c'est vrai : N(f) = 0 n'implique pas f=0, on a juste une semi norme et si on s'en sert pour définir une topologie on aura à priori pas un espace séparé, donc aurevoir la caractérisation séquentielle !
apres si on parle pas des fonctions continu par morceaux, il va falloir que tu m'explique ce que tu entend par "l'espace considéré" parceque pour le moment il na toujour préciser aucun espace !

"Ensuite, on peut se restreindre aux fonctions continues tout en gardant de l'intéret à la question qui deviendrait "montrer que l'ensemble est complet" pour la norme 2." euh... la question de départ est de montré que l'adherence des fonctions polynomial est inclu dans l'ensemble des fonction continu : si on se restraint aux fonction continu alors ceci est forcement vrai : l'adherence des fonction polynomial dans les fonction continu est evidement inclu dans l'ensemble des fonction continu !


"Si fn converge en norme 2, alors elle converge en norme infinie (pourquoi?)."
euh j'ai pas compris ce que tu as voulu dire dans ce paragraphe, mais on est bien d'accord, que cette phrase est fausse ? la convergence unfirome implique la convergence en norme 2, et pas le contraire !



"La question est de savoir si une suite de fonction polynômiale converge toujours vers une fonction continue pour la norme 2, ce qui est nettement différent." je suis d'accord, mais dans le sens ou l'ensemble des polynome est dense dans l'ensemble des fonction continu (aussi bien pour la norme 2 que pour la norme infinit) toute fonction qui est limite d'une suite de fonction continu est aussi limite d'une suite de fonction polynome.




Bref, tous sa pour dire à fade2black, que pour l'instant ton énoncé na aucun sens. pour parler de l'adherence d'une parti il faut ce placer dans un certaine espace taupologique : dans ton cas il faut preciser dans qu'elle ensemble de fonction tu te place, et dans de qu'elle norme/taupologie/distance tu le muni !

et a mon avi (mais je me trompe peut-etre, ce n'est qu'une impression...) la seul situation "classique" non trivial ou on aurra "l'adherence des fonctions polynomes" est inclu dans l'ensemble des fonction continus, c'est si on ce place sur l'ensemble des fonction borné munie de la norme infinie.

Mais si au début, j'ai marqué qu'on voulait montrer que les fonctions polynomiales étaient denses dans E=l'ensemble des fonctions continues, au sens de la norme quadratique.
" l'adherence des fonction polynomial dans les fonction continu est evidement inclu dans l'ensemble des fonction continu !"
Voila ou est le problème : dans le "évidemment". Moi ça me semble pas si évident que ça, est-ce que la démonstration que j'ai proposé pour démontrer cette évidence est valable ? Je la rappelle ci-dessous :
Soit f un élément de l'adhérence de l'ensemble des polynomes. Alors f est limite d'une suite de polynomes, au sens de la norme uniforme, mais aussi au sens de la norme quadradique (car elle est moins fine). Les polynomes étant continus, f est continue. Donc f appartient à l'ensemble des fonctions continues sur [0,1]. D'ou l'inclusion (triviale) recherchée.

Ksilver tu ne m'as pas compris:
1- on travaille sur l'espace des applications polynômiale sur I=[0,1]. Sur cet espace on a bien une norme (et non une semi norme, mais au pire je ne vois pas ce que ca fait)

2- effectivement la convergence en norme 2 n'implique pas la convergence en norme infinie, d'où mon "pourquoi?". Cependant, peut être (je ne sais pas) que sur l'espace considéré (i.e. l'ensemble des applications polynômiales sur [0,1]) on a cette implication (mais j'en doute). Le contraire est effectivement toujours vrai.

3- fade to black, comme on te l'a fait remarquer, tu utilises le fait que la convergence en norme 2 impliquait la convergence en norme oo ce qui n'est pas vrai en général. Peut être qu'ici c'est le cas, (j'en doute), auquel cas tu devrais le prouver.

a+

"tu utilises le fait que la convergence en norme 2 impliquait la convergence en norme oo". mais non au contraire :

" Alors f est limite d'une suite de polynomes, au sens de la norme uniforme, mais aussi au sens de la norme quadradique (car elle est moins fine). "

Il existe une suite de polynomes qui converge pour la norme oo, donc qui converge pour la norme 2.

otto : comment tu veux montrer que l'ensemble des fonction polynomial est dense dans quelque chose si on travaille sur l'ensemble des fonction polynomial aussi ??? (mais effectivement, si on ce restraint a un ensemble de fonction continu, alors la norme deux est une norme, mais la quetsion :"Mq l'adhérence des fonctions polynomiales de [0,1] dans R est incluse dans l'ensemble des fonctions continus de [0,1] dans R." na aucun sens (enfin... si elle a un sens, mais il n'a aucun interet ^^ )


" l'adherence des fonction polynomial dans les fonction continu est evidement inclu dans l'ensemble des fonction continu !"
Voila ou est le problème : dans le "évidemment"

si on travaille dans l'ensemble des fonction continu, tous est inclu dans l'ensemble des fonction continu (entre autre l'aderence des polynomes) ! c'est pour ca que je dit "evidement".



ce qui manque dans ta question, c'est de dire dans qu'elle espace, munie de qu'elle norme on ce place !, pour la norme tu nous a dit la norme 2, mais tu n'a pas préciser qu'elle est l'espace de fonction considéré.

"Il existe une suite de polynomes qui converge pour la norme oo, donc qui converge pour la norme 2." mais si tu commence comme ca tu va calculer l'adherence pour la norme infnit ! si tu prend f dans l'adherence pour la nomre 2, il n'y a priori aucune raison de trouver une suite qui converge en norme infnie.


faudrait tous reprendre à 0 : repose ta question clairement en spécifiant bien tous les détail sur l'espace topologique dans lequel on ce place !

Ok je comprend où tu veux en venir.
La question peut se poser ainsi:
Soit Qn une suite d'application polynômiale sur [0,1]. Montrer que si Qn converge en norme 2 vers f, alors f est continue.
Si ca te pose un vrai problème Kaiser, tu peux t'immerger dans L2([0,1]), et là ca devient plus limpide.

Amicalement,
otto

Bon je reprends la question.
Soit E l'ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R, muni de la norme 2. Montrer que Pol([0,1],R) est dense dans (E,||.||2).
C'est ça ma question. Je me suis dit qu'il fallait montrer que l'adhérence de POL était égale à E.
J'ai montré que E était inclus dans l'adhérence de Pol gràace au théorème de Weierstrass. C'est l'autre inclusion qui m'a posé problème. Voila.

Ce qu'il y'a c'est que d'accord, les fonctiosn polynomiales sont dans E ; mais qu'est-ce qui me prouve que leur adhérence aussi ? Je sais, cela peut sembler évident, mc'est aussi ce que pense mon prof, mais si ceci est le 8e post que j'écris, c'est bien que ça ne me semble pas évident !
Merci de vos réponses

En fait, il y'a un problème de fond.
Tu as que Y est un espace topologique et que X est inclus dans Y.

Tu cherches à montrer que l'adhérence de X est dans Y, mais par définition tu ne peux pas avoir autre chose.

voila tous devien plus claire !
J'ai montré que E était inclus dans l'adhérence de Pol gràace au théorème de Weierstrass. C'est l'autre inclusion qui m'a posé problème. Voila.


l'autre inclusion ne pose pas probleme : on ce place dans l'ensemble E, il n'y à donc rien "en dehors" de cette espace ! donc l'autre inclusion coule de source.




mais sinon pour otto, je suis toujour pas d'accrod avec ta formulation : "Soit Qn une suite d'application polynômiale sur [0,1]. Montrer que si Qn converge en norme 2 vers f, alors f est continue."
il y a encore le probleme de savoir dans qu'elle espace on prend f selon l'espace qu'on prend la réponse sera différente. si on peut prendre les fonction continu par morceaux on arrive a de superbe abération du type :

on prend f la fonction f(0)=1 et f(x)=0 sinon, et la suite Qn(x)=0
alors Qn tend vers f en norme 2 : en effet la norme de Qn - f est nul pour tous n, et pourtant f n'est pas continu... ce qui me gène c'est que pour que la norme deux soit une norme on est quasiement obligé de ce restreindre à l'ensemble des fonction continu (eventuellement l'ensemble des fonction à discontinuité symetrique ou des choses du genre...) mais dans ce cas la question n'a aucun interet !

OK je vois. Dernière question pour ce problème : la densité d'un ensemble dans (E,||.||2) implique sa densité dans (E,||.||oo), non ?

Oui :


si j'apelle F ton ensemble : soit x dans E, F est dense pour la norme 2 donc il existe une suite xn de F qui tend vers x pour la norme 2, donc xn tend vers x pour la norme infinit. donc pour tous point x de E il existe une suite xn de F telle que xn tend vers x pour la norme infini : F est dense dans (E,||.||oo)

OK, merci beaucoup Ksilver !