c'est x - (1 + x) ln(1 + x) < 0 faites pas attention au Z à la fin

Bonjour

D'abord il n'y a aucune suite!

Le mieux est d'étudier la fonction f(x)=x-(1+x)ln(1+x).

pardon je voulais dire fonction, mais c'est ce que j'ai fais et j'ai trouvé que f était croissante sur R

Ca m'étonnerait...

dsl je me suis trompé
je reprend tous ce que j'ai fais ce sera plus clair
f(x)=x-(1+x)ln(1+x)
je dérive
f'(x)=1-[1*ln(1+x)+(1+x)*1/(1+x)]=1-ln(1+x)
1-ln(1+x)>0 <-> -ln(1+x)>-1 <-> ln(1+x)<1 <-> 1+x<e <-> x < e -1
donc f' positive sur ]0;e -1] et négative sur ]e -1; +inf[
et donc f strictement croissante sur ]0;e -1] et strictement décroissante sur ]e -1; +inf[
lim x->0 f(x) = 0
lim x->+inf f(x) est une FI de la forme +inf -inf (et là je sais pas si c'est bon de calculer les limites                mais c'est là je bloque)
Ensuite je mets x en facteur j'obtiens donc f(x)=x[1-((x+1)ln(x+1))/x]=x[1-ln(x+1)+(ln(x+1))/x)]
d'après ce que je sais que
lim x->+inf ln(x+1)= +inf
lim x->+inf ln(x+1)/x = 1
et donc on retombe sur la même FI

L'erreur est dans la dérivée

Exact
je me suis trompé aussi dans le calcul des limites
lim x->+inf ln(x+1)/x = 0 mais ça ne change rien au problème

une fois que sais que f est strictement décroissante sur mon intervalle j'en revient exactement à mon problème sur les limites

quelqu'un peut m'aider ?

Mais non, comme f(0)=0 et comme f est strictement décroissante tu as forcément f(x) < 0 sur l'intervalle.

Merci