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mq une matrice antisymétrique est diagonalisable
Hello,
au cours de mon oral de polytechnique, l'examinateur m'a demandé de montrer qu'une matrice antisymétrique de Mn(R) est diagonalisable dans Mn(C). J'ai montré que ses valeurs propres étaient imaginaires pures, mais après je ne vois pas trop trop. C'est une démo du type de celle pour montrer qu'une matrice symétrique réelle est diagonalisable ? Si oui, alors c'est pas très intéressant ^^
Merci de me donner quelques pistes (ou la solution, je suis paresseux 
)
Bonne soirée 
Bonsoir gui_tou et raymond,
On montre d'abord que si A est antisymétrique réelle alors .
En considérant la restriction à on peut se limiter au cas où A est inversible.
Comme est symétrique, elle est diagonalisable sur R donc sur C.
Enfin (exercice classique): diagonalisable sur C et A inversible entrainent que A est diagonalisable (par exemple polynôme annulateur scindé à racines simples).
Bonjour, et merci de m'avoir répondu !
Raymond, je ne suis qu'en PC, et nous n'avons que traité le cas des matrices symétriques réelles, donc avec un produit scalaire euclidien, pas hermitien 
jandri : très bien vu le coup de considérer A², j'y penserai pour mes prochains oraux !
Dommage que je n'ai pas su...
Merci, bonne journée
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