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Niveau Licence Maths 1e ann
multiple de 11
Posté par NaelFR
Bonsoir,
Je dois montrer l'assertion suivante :
"1234554321 est un multiple de 11."
Vous avez une méthode pour montrer ce genre de choses?
Si l'assertion est vraie alors on peut écrire 1234554321=k
11 (définition d'un multiple) ..
Il me semble aussi qu'on peut en déduire que 11 divise 1234554321 donc qu'on peut l'écrire comme ceci :
11=k'1234554321 avec k'=1/k
Mais il me semble que ça ne mène à rien! 
(ou alors je suis trop fatigué)
Merci de m'aider.
Naël
Bonjour.
@NaelFR
Les congruences que tu as vu en terminale, (si c'est bien le cas) ne te rappellent rien?
Bonjour à tous!
Merci pour vos réponses mais j'ai pas trop compris pour l'instant..
@delta-B :
Non je n'ai pas vu les congruences! Enfin en tout cas j'en ai vraiment AUCUN souvenir... J'étais en terminale S durant la période scolaire 2010/2011 et je ne sais pas si c'était au programme...
Tu remplaces
10 = -1 mod 11
100 = 1 mod 11
1000 = -1 mod 11
par
10 = -1 + 11
100 = 1 + 11.9
1000 = 10 + 11.90 = -1 +11.91
Tu supputes que , pour tout entier p > 0 , 102p -1 et 102p+1 + 1 sont divisibles par 11 .
Tu le prouves par récurrence sur p .
Autrement dit , pour tout p existent u2p et u2p+1 entiers tels que 102p = -1 + 11.u2p et 102p+1 = 1 + 11.u2p+1
Si N = a0 + 10.a1 +....+ a2p.102p + a2p+1.102p+1 +... (où les aj sont des entiers) tu as donc (en regroupant les multiples de 11)
N = a0- a1 +....+ a2p - 10.a2p+1 +... + un multiple entier de 11.
Le reste de la division par 11 de N et de a0- a1 +....+ a2p - a2p+1 +... sont donc les mêmes .
En particulier 11 divise N SSI 11 divise a0- a1 +....+ a2p - a2p+1 +...
Le nombre qu'on te donne est du type N = a0 + 10.a1 +....+ a2p.102p + a2n+1.102n+1 où
a0 = a2n+1
a1 = a2n
....
ap = ap+1
On a donc a0- a1 +....+ a2n - a2n+1 = 0 .
Tous les palindromes sont divisible par 11 .
D'accord.. Tout ça reste très abstrait pour moi quand même ! Mais merci à tous pour votre aide, je vais utiliser ce que vous m'avez donné pour compléter le peu de cours intéressants que j'ai trouvé sur ce sujet!
Bonne journée à tous!
Naël
Bonjour.
@NaelFR.
Kybjm et Otto t'ont donné des indications pour trouver ( ou retrouver mais apparemment ce n'est pas le cas) le caractère de divisibilité par 11. Tu connais surement les caractère de divisibilité classiques (qu'on donnait au primaire) par 2, 3, 5, 9 et 10. je rappelles ceux de 3 et 9: un nombre entier entier m est divisible par 3 ( par 9 ) si la somme de ses chiffres un multiple de 3 ( de 9 ).
Un caractère de divisibilité d'un nombre m par un nombre n n'est utile que si on peut faire le calcul de tête et ceci revient à montrer le reste de la division par n est nul. Le problème revient à déterminer le reste de la division de m par n. Ceci amène quelques remarques.
1) On ne modifie pas le reste si on ajoute ou retranche à m un multiple de n.
2) Le reste r de la division de la somme m1+m2 de 2 entiers m1 et m2 par n est le même que celui de la division de la somme des restes r1 et r2 des divisions de m1 et m2 par n.
3) Soit j et m deux entiers, le reste r de la division de jm est le même que de jt1 où t désigne le reste de la division m par n.
Soit m nombre m à k chiffres a1, a2, ..., ak, la suite de ses chiffres étant numérotée de la droite vers gauche, (a1 est le chiffre des unités, a2 celui des dizaines ,...), on peut alors écrire .
Au lieu de trouver directement le reste de la division de
par
, il suffit de trouver les restes
de
et de déterminer ensuite le reste de la somme des restes
. On aura intérêt à utiliser la remarque 1) pour éventuellement simplifier les calculs intermédiaires
Je n'est fait que traduire plus ou moins (en généralisant un peu) ce qu'ont voulu te dire Kybjm et Otto, et t'aider à retrouver le caractère de divisibilité par 11: un entier m est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle de rang pair est un multiple de 11.
On en déduit le résultat déjà trouvé par Kybjm: Les palindromes de nombres ayant un nombre pair de chiffres sont toujours des multiples de 11.
Pas tous les palindromes, 131 n'est pas divisible par 11. A moins qu'on considère qu'un palindrome répète nécessairement chacun des digits.
Bonjour.
Les palindromes à nombre pair de chiffres, oui, ils sont tous divisibles par 11. Si l'on voulait trouver des conditions spécifiques aux palindromes à nombre impair de chiffres pour qu'ils soient divisibles par 11, elles seraient fastidieuses et il vaut mieux utiliser directement le caractère de divisibilité par 11.
Bonjour,
Pal-1-drome
1234554321= 11 111 * 111 111=11 111 * 10 101 * 11