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n divise somme de 3k parmi n pour k allant de 0 à E(n/3) ?

Posté par
Kartem 31-07-19 à 22:04

Bonjour, cet exo commence vraiment à me taper sur le système

On montre que \sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}} = \frac{2^{n}+2cos(n.pi/3)}{3}}   en passant par les complexes.

Ensuite en distinguant les cas modulo 6 pour éliminer le cos, on arrive à

\frac{2^{n}-2}{3}} pour n 0

\frac{2^{n}+2}{3}} pour n 3

\frac{2^{n}-1}{3}} pour n 2 ou n 4

\frac{2^{n}+1}{3}} pour n 1 ou n 5

Seul ce dernier cas me pose problème. Pour les premiers, j'ai réussi à montrer que c'était impossible en montrant que n était multiple de 2 ou 3 alors que N (la fraction) ne l'était pas en regardant les valeurs de 2^{n} modulo 6 ou 9 (par exemple, le 1er : comme n 0  on montre que 2^{n} 1 [9] puis N 1 [3], or n multiple de 3)

Mais dans le dernier cas on voit bien que c'est impossible de raisonner de la sorte puisqu'on ne peut pas trouver de diviseur pour n. Je ne sais pas si on peut conclure avec une méthode similaire ou s'il faut une toute approche.

Merci d'avance

Posté par
Zrunre : n divise somme de 3k parmi n pour k allant de 0 à E(n/3) ? 31-07-19 à 22:23

Tu cherches à montrer quoi en fait ?

Posté par
Kartemre : n divise somme de 3k parmi n pour k allant de 0 à E(n/3) ? 31-07-19 à 22:27

Ah oui, pardon. Pour quelles valeurs de n, n divise \sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}} = \frac{2^{n}+2cos(n.pi/3)}{3}}    

Posté par
Sylvieg Moderateurre : n divise somme de 3k parmi n pour k allant de 0 à E(n/3) ? 01-08-19 à 09:24

Bonjour,
Une petite remarque :
Je pense qu'il faut échanger les cas n0 et n3 .
Mais ça ne doit pas changer grand chose.

Pour le dernier cas, je ne vois rien pour le moment.

Posté par
carpediemre : n divise somme de 3k parmi n pour k allant de 0 à E(n/3) ? 01-08-19 à 14:43

salut

peut-être remarquer que 2^n - 2, 2^n - 1, 2^n, 2n + 1 $ et $ 2^n + 2 sont consécutifs ... tout en sachant que 2^n n'est évidemment pas multiple de 3 ...

Posté par
Kartemre : n divise somme de 3k parmi n pour k allant de 0 à E(n/3) ? 01-08-19 à 15:20

carpediem @ 01-08-2019 à 14:43

salut

peut-être remarquer que 2^n - 2, 2^n - 1, 2^n, 2n + 1 $ et $ 2^n + 2 sont consécutifs ... tout en sachant que 2^n n'est évidemment pas multiple de 3 ...


J'ai du mal à voir comment utiliser ceci, étant donné que pour une valeur de n donnée, il n'y a qu'une seule valeur de N de la forme \frac{2^{n}+x}{3}}

Et je peux faire apparaître les congruences suivantes en considérant les n+k évidemment, mais alors je fais apparaître \frac{2^{n+k}+x}{3}} et là on a du mal à voir des nombres consécutifs


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