Bonsoir.

On te demande de déterminer si (0,0) est un extrema local. (un minimum, un maximum, ou rien du tout)
Tu dois avoir un paragraphe sur les extremum dans ton cours.

Justement le cours c'est euh... ça ! ^^'

Le prof a dit qu'on allait traiter ceci en exercice sauf que j'ai du faire une absence pour les dents de sagesses et vu qu'on fait les TD en groupe et que je ne connais personne dans le groupe, c'était pas évident.. j'ai pu tout rattraper sauf le début (que je sais faire mais pas cette question!)

En ce moment, je refais tous les exercices pour me remettre à jour mais bon je bloque sur le début de ce chapitre, ça commence mal!

En tout cas merci pour ta réponse extrêmement rapide

Ici, on a pas besoin d'appliquer toute la théorie sur les extremum d'une fonction différentiable, on peut voir directement que (0,0) est un minimum global : la fonction est tout le temps positive, et elle s'annule en (0,0), c'est donc un minimum global.

Autrement, dans le cas où les choses sont moins triviales, on dispose d'une technique lorsque la fonction est suffisamment différentiable.

En gros il faut utiliser les dérivées partielles? Si oui, existe-t-il une autre méthode? Car la dérivabilité n'a pas encore été vu quand l'exercice a été posé

Oui, dans le cas général, on utilise les dérivées partielles.

Mais pour ton exercice, ce n'est pas utile, comme je t'ai fait remarquer.

Et pour g(x) = x² - y⁴ par exemple?

Là, c'est tout de suite moins clair, sans la différentiabilité.
Tu n'as pas vu du tout les dérivées partielles en cours ?

Oui je l'ai vu.

Sinon ce que je viens de dire avant, c'est complètement faux car on a fait des exercices avec la différentiabilité sans avoir vu le cours donc bon...

Donc la méthode se repose sur la différentiabilité? Il faut utiliser les dérivées partielles ?

Oui.

Dans un premier temps, on vérifie que la fonction est différentiable. Ici, tout va bien, tes fonctions sont .

Ensuite, on détermine les points critiques : ce sont les points où toutes les dérivées partielles sont nulles.
Si un point est un extrema local, alors nécessairement il est un point critique.

Mais la réciproque est fausse, tous les points critiques ne sont pas des extremum. Pour déterminer lesquels sont effectivement des extremum, on passe aux dérivées secondes, et à l'étude de la matrice hessienne.
On dispose de critères suffisants pour savoir si on a affaire à un point critique.  (mais ça ne suffit pas toujours ...)

Les points critiques, c'est justement plus loin dans le cours m'enfin bon si je vois un exercice de ce type la, je vais utiliser les dérivées ça c'est sûr, tant qu'il n'y a pas marqué à la suite de l'exercice :

" Remarque : Interdiction d'utiliser la différentiabilité ! Héhé.. vous avez 1H!"

En tout cas utiliser les dérivées premières et secondes, je sais faire. Donc pour résumé :

- on cherche les dérivées partielles en x et y : on déduit les points critiques
- on cherche les dérivées secondes en x et y puis si c'est négatif alors c'est un maximum, si c'est positif, c'est un minimum

C'est bien ça?

Ta phrase sur les dérivées secondes est assez vague, qu'est-ce qui est négatif ou positif ?

Une fois la matrice hessienne déterminé, on calcule son déterminant. S'il est nul, le point critique est dégénéré, et on ne peut rien dire de particulier.

S'il n'est pas nul, on regarde les valeurs propres : si elles sont toutes strictement positives (la hessienne est définie positive), le point est un minimum, et si elles sont toutes strictement négatives (la hessienne est définie négative), on a un maximum.
S'il existe des valeurs propres des deux signes, on a affaire à un point selle.

Dans le cas des points dégénérées, on peut toujours calculer les valeurs propres.
On sait que si on a un maximum (resp minimum), alors elles seront toutes positives (resp négatives).
Ca permet parfois de dire que le point n'est pas un extremum, mais rien de plus.

"Ta phrase sur les dérivées secondes est assez vague, qu'est-ce qui est négatif ou positif ?"

Je parlais de la dérivée seconde, on l'a fait sur un exercice

Sinon pour le point critique dégénéré ou pas, je crois qu'on va un peu loin car c'était pas tant demander sur l'exercice mais bon je suis tout à fait d'accord ^^

Enfin bon, si je vois un exercice que demande de décrire un point, autant tout dire!

"S'il n'est pas nul, on regarde les valeurs propres : si elles sont toutes strictement positives (la hessienne est définie positive), le point est un minimum, et si elles sont toutes strictement négatives (la hessienne est définie négative), on a un maximum.
S'il existe des valeurs propres des deux signes, on a affaire à un point selle."

J'ai pas encore vu.. mais je note!

Si tu n'as pas vu les valeurs propres, pour les fonctions de 2 variables, on peut faire autrement.

On calcule le déterminant de la hessienne : s'il est nul, on a un point dégénéré.
S'il est strictement négatif, on a affaire à un point de selle.
S'il est strictement positif, on a un extrema.
Pour déterminer sa nature, on calcule la trace de la hessienne, c'est-à-dire la somme des coefficients diagonaux.
Si la trace est positive, on a un minimum, si la trace est négative, un maximum.

Ceci n'est valable que pour les fonctions de deux variables, mais pas plus.

Ah intéressant ça !

Bon désolé mais je dois y aller (j'ai eu une matinée un peu dur !), en tout cas je te remercie beaucoup pour ces conseils, enfin je pense que le prof va en parler, j'ai mis la page en favoris de toute façon.

Merci encore pour avoir consacré mon temps sur mon problème!

Bonne soirée et bonne nuit !

4 ans plus tard, vous sauvez encore des gars comme moi; Bravo les gars
et Merci