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Nature d’une infinité de points critiques
Bonjour j'aurais besoin d'aide.
Voici l'exercice :
soit f définie par
f(x,y) = x^3y² - x^4y² - x^3y^3
1) Déterminer les points critiques de la fonction f.
2) Déterminer la nature des points critiques de f.
3)) Soit M1,M2,S respectivement l'ensemble des minima locaux, l'ensemble des maxima locaux et l'ensemble des points selle de la fonction f. Dire si M1,M2,S sont compacts,ouverts ou fermés.
Pour la question 1) pas de soucis je trouve les points la forme (x,0) ( quel que soit x) , (0,y) ( quel que soit y ) et (1/2,1/3) .
Pour la question 2) j'applique la méthode classique pour (1/2,1/3) mais pour (x,0),(0,y) impossible ni même avec la matrice hessienne ( déterminant nul) . Donc j'ai essayé :
f(x+h,k) - f(x,0) = (x+h)^3 * (k²-(x+h)*k²-k^3)
= k²(x+h)^3*(1-x-h-k)
ce qui ( pour moi sans être sûr ) serait équivalent à : k² * x^3 * (1-x) ( quand h et k très petit ) donc signe constant et j'obtient après étude du signe au voisinage de (0,0) que (0,0) et (1,0) sont des points cols . Puis que si x<1 on est en présence d'un maximum local ( resp. minimum si x>1) .
Enfin pour (0,y) :
f(h,y+k) - f(0,y) = h^3 (y+k)² (1-b-h-k) qui serait équivalent quand h,k petits à : h^3 *b²(1-b) donc signe non constant et tous les (0,y) seraient col , ce qui me paraît bizarre ...
Merci d'avance pour votre aide .
Bonjour,
Si tu considéres les notations de Monge: en un point donné
Si s^2-r*t<0
il y a maximum si r strictement négatif
il y a minimum si r strictement positif
Or il se trouve que pour (x,0) et (0,y), le paramétre r est nul: selon moi pas d'extremum en ces points.
Bonjour
Par exemple si je regarde ce qu'il se passe au point (2,0) je trouve qu'il y a un maximum local. C'est à dire qu'on peut dire quelque chose à condition de regarder de plus près.
0.
]-
, 0[ 
]1 , +Bonjour,
J'ai refais les calculs, je trouve la même chose.
Pour (x,0) et (0,y), j'ai fait le calcul suivant : f(x+h,y+h)-f(x,y).
pour (x,0), je trouve f(x+h,0+k)-f(x,0)=(x+h)4k2 donc toujours positif, donc (x,0) je pense donc a un maximum local. Pour (0,y) cela ne donne rien,je pense qu'on peut y arriver en faisant un développement de Taylor d'ordre 2 :
Bonjour
@Phyelec tu as peut-être fait des calculs mais pas les mêmes que nous. En effet la fonction donnée dans l'énoncé n'est pas homogène mais pour toi oui.
Et c 'est clair que pour le point (1, 0) il ne passe pas la même chose que pour (2,0) que j' ai pris en exemple
Bonjour
En regardant sur le site serge.mehl.free.fr avec un exemple, je trouve que
En (0;y) la matrice hessienne est nulle donc developpement à l'ordre 3: on a h^3*(-6*y^3+6*y^2)+k^3*(-6*x^3), expression dont signe est non constant alors point selle.
En (x;0) la matrice hessienne est nulle donc developpement à l'ordre 3: on a 3h*k^2*(-8x^3+6*x^2)+k^3*(-6*x^3), expression dont signe est non constant alors point selle.
Je ne trouve que des points selle.donc ??? je vois pas où est l'erreur.
Juste que j'ai oublié de de deviser par 3! soit 6 mais je ne pense pas que ca va changer grand chose au final.
Bonjour
remarque: Celui qui a posé la question a disparu (bien qu'il se soit renseigné sur un autre forum).
@Raptor pour (x,0) si au moins tu factorisais pour y voir + clair.
Bonjour,
En (x,0), la première dérivée partielle non nulle est
En un point courant , de telle sorte que
, qui est du signe de
donc minimum local pour, maximum local ailleurs.
En (0, y), la première dérivée partielle non nulle est égale en temps ordinaire à
, d'où
, et là il y a changement de signe, donc point selle.
Sauf erreur
Rebonjour
@Larech il y a les cas particuliers comme par exemple (x,0)=(1,0) où on a un point selle.
De même pour (x,y)=(0,1), je n'ai pas regardé mais ton développement ne permet pas encore de conclure.
P.S Il y a aussi le point (0,0) qui n'est pas traité
En (x;0) et en factorisant on a 6x^2*k^2*(-4*x*h+3h-x*k) mais je ne vois pas ce que ca change au niveau du signe: signe non constant suivant les valeurs de h et k.
@XZ19, Tu as raison, ces cas là ne sont pas traités , d'ailleurs hier soir 22h31, j'avais mis des intervalles ouverts.
Laissons à pierre13330, s'il revient, la joie de s'y intéresser. 
@Larech oui oui j'avais bien vu.
Si je continue c'est pour @raptor qui s'intéresse au pb.
@raptor pour x fixé tu as écrit "on a..." tu as factorisé alors maintenant je suis perdu par ce que tu as écris. Est-ce une erreur de calcul?
Mais bref quand on écris "on a....." et bien ça veut rien dire. Il est préférable de dire
"qui est égal à qui" pour être compris.
L'expression est (-6*k^2*x^2*(4*h*x+k*x-3*h))/(3!)
soit comme forme factorisée k^2*x^2*(-4*h*x-k*x+3*h) expression que je trouve avec MAPLE visiblement pas d'erreur sauf distraction.
Rebonjour
Je pense que tu ne m'a pas compris. Je n'arrive pas à voir à quoi ça correspond cette expression . En tout cas ce n'est pas égal à f(x+h,k) .
Il serait bien pour répondre à ta question que tu écrives l'égalité .
Bonjour,
Tape dans google : serge.mehl.free.fr matrice hesse.
Va dans nature d'un extremum où l'on explique la théorie,je trouve que c'est bien fait.
Un peu plus bas il y a un exemple clique sur voir la solution
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