Bonsoir.
J'appelle u cette isométrie. Si l'on est en dimension 3, ce polynôme est ausi le polynôme caractéristique de u. En décomposant : (u - e)(u² + u + e) = 0
D'après le théorème de décomposition des noyaux :

Désolé, j'ai posté par inadvertance en voulant faire des prouesses avec LaTeX ! Je poursuis :
.
Avec dimKer(u - e) = 1 et Ker(u² + u = e) = 2.
En prenant un vecteur unitaire directeur de Ker(u - e) et une base de deux vecteurs dans le plan Ker(u² + u + e), la matrice de u s'écrira :
.
La matrice carrée a,b,c,d, représente la restriction de u au plan Ker(u² + u + e). Cette restriction sera une isométrie de .
Si la restriction de u au plan est une rotation, on écrit sa matrice classique et on cherche quand u² + u + 1 = 0, je trouve cosx = 0 ou cosx = -1/2 et sinx = 0 ou cosx = -1/2.
Si cette restriction est une symétrie, u² = e : ne correspond pas au polynôme minimal.
Cordialement RR.