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Nature d'une série

Posté par
fade2black 21-10-07 à 18:40

Hello,
on me demande d'étudier la nature de la série de terme général un=cos(n²*ln((n-1)/n)), et je ne voix vraiment pas comment faire !
Ma première idée a été de montrer que le truc dans le cosinus tend vers +oo (pour dire que un ne tend pas vers 0 et que la série est donc divergente), mais en fait ce n'ets pas parce que x->cos(x) n'a pas de limite en +oo que un n'en a pas... Alors après j'ai essayé des DL et d'écrire ça comme le partie réélle d'une exponentielle, mais je n'aboutis pas. Pas de comparaison avec une intégrale possible, d'Alembert ne semble guère utile : je n'ai plus d'idées !
Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci d'avance !

Posté par
fusionfroidere : Nature d'une série 21-10-07 à 19:03

Salut

Essaie un développement asymptotique de u_n

Posté par
fade2blackre : Nature d'une série 21-10-07 à 19:24

C'est quoi un développement asynptotique ? Développement limité ?

Posté par
fusionfroidere : Nature d'une série 21-10-07 à 19:48

Oui un développement limité mais en l'infini...

Posté par
fade2blackre : Nature d'une série 21-10-07 à 20:34

Lol ça me dit absolument rien : comment on développe cos(x) à l'infini ??

Posté par
fusionfroidere : Nature d'une série 21-10-07 à 22:34

non il ne faut pas procéder comme ça

Remarque que : ln(\frac{n-1}{n})=ln(1-\frac{1}{n})

Or \frac{1}{n} tend vers 0 en l'infini...ça tombe bien puisque que tu connais un dvp limité de ln(1-u) en 0 !

Ensuite multiplie le tout par n^2

Dis-moi ce que tu trouves ^^

Posté par
fade2blackre : Nature d'une série 22-10-07 à 18:00

Oui ok, ce qu'il y a dans le cosinus est équivalent à -n, donc tend vers -oo ; ça je l'avais fait. Mais ensuite ? D'abord, j'avais dit "x->cos(x) n'a pas de limite en +oo, donc mon terme général Un ne tend pas vers 0, la série est grossièrement divergente". Mais après j'ai pensé à la suite cos(2n*Pi) : ce qu'il y a dans le cos tend vers +oo et pourtant cette suite converge (puisqu'elle est constante) ; bref, tout ça pour dire que je vois bien que ce qui est dans le cos tend vers +oo, mais je ne vois pas comment conclure...

Posté par
fade2blackre : Nature d'une série 23-10-07 à 20:59

Personne n'a d'idée...?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série. 24-10-07 à 02:05

Bonsoir ;

Juste une idée ,

Pour 2$\fbox{\alpha\in[\frac{1}{2},\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}]} considérons l'application 2$\fbox{\varphi{:}\mathbb{N}\to\mathbb{N}\\n\to [\alpha+2n\pi]} où le symbole [.] désigne la partie entière.
Il est facile de vérifier que \varphi est strictement croissante et donc que la suite (u_{\varphi(n)}) est extraite de (u_n).

Dans la suite on va montrer (sauf erreur) que la suite (u_{\varphi(n)}) ne tend pas vers 0 ce qui prouve la divergence de la série de terme général u_n.

Allons y

Le DL_2(0) (au sens fort) de la fonction x\to ln(1-x) donne 2$\fbox{ln(1-\frac{1}{n})=-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O(\frac{1}{n^3})}
d'où 2$\fbox{n^2ln(1-\frac{1}{n})=-n-\frac{1}{2}+O(\frac{1}{n})} et par suite 2$\fbox{\varphi(n)^2ln(1-\frac{1}{\varphi(n)})=-\varphi(n)-\frac{1}{2}+O(\frac{1}{\varphi(n)})}
d'où 2$\fbox{u_{\varphi(n)}=cos(\varphi(n)^2ln(1-\frac{1}{\varphi(n)}))=cos(\varphi(n)-2n\pi+\frac{1}{2}+O(\frac{1}{\varphi(n)}))} (par parité et 2\pi-péiodicité du cosinus)
et comme \fbox{(\forall n)\hspace{5}\hspace{5}\varphi(n)-2n\pi+\frac{1}{2}\in]\alpha-\frac{1}{2},\alpha+\frac{1}{2}]\subset[0,\frac{\pi}{3}]} (vérification facile) et \fbox{\lim_{n}\hspace{5}O(\frac{1}{\varphi(n)})=0}
on est sûr qu'à partir d'un certain rang on a 2$\fbox{\varphi(n)-2n\pi+\frac{1}{2}+O(\frac{1}{\varphi(n)})\in[-\frac{3\pi}{7},\frac{3\pi}{7}]}
et donc qu'à partir de ce même rang 2$\blue\fbox{u_{\varphi(n)}\ge cos(\frac{3\pi}{7})>0} ( du fait que \frac{\pi}{3}<\frac{3\pi}{7}<\frac{\pi}{2} ) (sauf erreur bien entendu)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série. 24-10-07 à 21:20

OK !
La série 2$\fbox{\Bigsum_{n\ge2}\hspace{5}cos(n^2ln(\frac{n-1}{n}))} est divergente vu que son terme général ne tend pas vers 0 .



2$\fbox{N.B} : Je me demande si la suite \fbox{(cos(n^2ln(\frac{n-1}{n})))_{n\ge2}} n'est pas dense dans [-1,1]

Posté par
fade2blackre : Nature d'une série 29-10-07 à 16:11

Wow compliqué ! Ils nous ont dit que cet exo était de niveau L1... Y'a pas plus simple ? Quoi qu'il en soit, merci elhor pour ta solution rusée et le temps que tu as dû passer a écrire toutes ces belles formules en LaTeX !


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