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Niveau école ingénieur
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Nature d'une série

Posté par
Xburner
04-12-21 à 21:30

Bonsoir , concernant l'étude de la nature d'une série numérique par un développement limité , j'ai des problèmes sur où s'arrêter.
Par exemple pour le développement limité de Un = sin((-1)ⁿ/n) , n≥1
on a eu (-1)ⁿ/n - (1/6)×((-1)ⁿ/n)³ + o((-1)ⁿ/n³)
ici pourquoi on s'est arrêté à 3 ?

Posté par
Foxdevil
re : Nature d'une série 04-12-21 à 21:53

Bonsoir,

On s'est arrêté à 3 car c'est suffisant pour conclure. On sait montrer la convergence de chacun des termes. Alors qu'à l'ordre 1, on ne pouvait pas conclure qur le terme en petit o.

Posté par
Xburner
re : Nature d'une série 04-12-21 à 22:34

par exemple si on s'était arrêté à 1 , on aurait eu :
sin((-1)ⁿ/n) = (-1)ⁿ/n + o((-1)ⁿ/n)

Qu'est ce qui nous aurait empêché de conclure ici ?
(J'ai un problème avec le petit o, il me semble que j'ai oublié un petit détail mais ça vient pas 😢)

Posté par
Foxdevil
re : Nature d'une série 05-12-21 à 00:55

Le premier terme est le tg d'une serie convergente, par le critère des séries alternées.

Mais on ne peut rien dire pour le second, à priori. Être un petit o a une signification précise que je t'invite à revoir dans ton cours; mais on peut le voir intuitivement comme "être très petit par rapport à" la valeur absolue de ce qui est dans le petit o.
Et ici c'est 1/n. "Être petit devant" 1/n ne suffit pas à être le terme général d'une série convergente.
Par exemple 1/n² et 1/nln(n) sont des o(1/n). Mais l'une est le terme général d'une série convergente et l'autre divergente.

Posté par
Xburner
re : Nature d'une série 05-12-21 à 01:45

Merci beaucoup je comprends mieux !



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