je sais pas si cest bon mais normalement les series de cette forme (pour les réels au moins) cest les séries de Riemann
1/n^a converge si et seulement si a>1
si a = 1, série harmonique, la série diverge
apres dans le ca scomplexe je sais pas, dans mon cours jai rien

écrivons a=s+it

Tu as n^it=exp(it ln(n)) qui est un complexe de module 1 donc en particulier si la série 1/n^s est convergente, il en va de même pour 1/n^s+it. Donc:

Re(a)>1 => série absolument convergente

De même dans les autres cas la série n'est pas absolument convergente. On voit tout de suite qu'elle est divergente pour Re(a) positif, car le t.g. de la série ne tend même pas vers 0.

Pour voir la divergence quand Re(a)<1, on peut par exemple estimer que entre N et (1+x)N (où x est choisi petit), n^-il reste quasiment constant égal à N^-il (à un facteur (1+x)^-il près que l'on peut faire rester très proche de 1), tandis que la somme partielle entre N et (1+x)N des 1/n^k est très grande quand N tend vers l'infini (il suffit d'estimer ça avec un intégrale...). Tu en déduis que ta série diverge sinon sa somme partielle entre N et (1+x)N tendrait vers 0 quand N tend vers l'infini.

Pour le cas de la série exp(it ln(n))/n , c'est légèrement plus délicat.

Evaluons le module de la somme partielle entre N et 2N:


| exp(it ln(N))/N + ... + exp(it ln(N)+it ln(2))/2N |

= |1/N + exp(it ln(1+1/N))/(N+1) + ... + exp(it ln(2))/2N |
                                          en multipliant par exp(-it ln(N))

> 1/N + cos(ln(1+1/N))/N+1 + ... + cos(ln(2))/2N
                                    car partie réelle est inférieure à module

> cos(ln(2))/2  >0
                                    car sur [0,ln(2)] cos est décroissante positive, et pour tout n<2N, 1/n>1/2N


Conclusion: Ta série est convergente ssi Re(a)>1.

Le dernier argument que j'ai donné peut fonctionner pour régler tous les autres cas 0<Re(a)<1 (en écrivant essentiellement la même chose mais avec les puissances de N, ce qui ne change rien au raisonnement).