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nbr comlexe (ensemble)
Bonjour à tous!
J'aurai besoin d'un peu d'aide pour deux exos de maths si qq'un pouvait me donner des renseignements.
Merci d'avance.
Soit A le point d'affixe i ; à tout point M d'affixe z, distinct de A, on associe le pt M' d'affixe : z'=(iz)/(z-i)
a. De terminer l'ensemble
des points M, disticnts de A, pr lesquels z' est réel.
b. Montrer que z'-i= -1/(z-i)
c. On suppose que M d'affixe z appartient au cerle de centre A et de rayon 1. Montrer que M' appartient à ce cercle.
Alors pour le petit a. j'ai trouver z'=(ix-y)/(x2+x-y+y2+iy-ix-i)
z' réel ssi Im (z')=0
donc x/(denominateur)=0 dc x=0
Est ce que c'est cela???
Pour le petit b. pas de probleme par contre le c je sais pas comment faire.
et l'autre exo :
f(z)=((3+4i) z barre+4-8i)/5
On note z=x+iy x,y réel.
a. determiner la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) en fctn de x et y.
b. En déduire l'ensemble D des points du plan complexe d'affixes z telle que f(z)=z
Je trouve pr le a.
f(z)= ((3x+4y+4)/5)+(i(-3y+4x-8)/5)
partie réelle ((3x+4y+4)/5)
partie imaginaire (i(-3y+4x-8)/5)
Est ce que c'est cela?
Par contre pour le petit b je sais pas comment faire.
Merci d'avance pour votre aide.
a)
z = x + iy
z' = i.(x+iy)/(x+iy-i)
z' = (-y+ix)/(x+i(y-1))
z' = (-y+ix).(x-i(y-1))/[(x+i(y-1)).(x-i(y-1))]
z' = (-y+ix).(x-i(y-1))/(x²+(y-1)²)
z' = (-xy+xy-x+i(x²+y²-y))/(x²+(y-1)²)
z' = (-x + i(x²+y²-y))/(x²+(y-1)²)
z' est réel si sa partie imaginaire = 0 --> si:
x²+y²-y = 0
x² + (y -(1/2))² = (1/4)
Soit si M est sur le cercle de centre (0 ; 1/2) et de rayon 1/2 mais privé du point de coordonnées (0 , 1)
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b)
z' - i = i.(x+iy)/(x+iy-i) - i
z' - i = i.(x+iy)/(x+iy-i) -i(x+iy-i)/(x+iy-i)
z' - i = i.(x+iy-x-iy+i)/(x+iy-i)
z' - i = i.(i)/(x+iy-i)
z' - i = -1/(x+iy-i)
z' - i = -1/(z-i)
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c)
Une façon de faire parmi d'autres:
Si M d'affixe z appartient au cerle de centre A(0 ; 1) et de rayon 1.
On a z = x + iy avec x² + (y-1)² = 1
soit x²+y²-2y + 1 = 1
x²+y² = 2y (1)
z' = iz/(z-i)
z' = (-x + i(x²+y²-y))/(x²+(y-1)²) (voir partie 1)
avec (1) -->
z' = (-x + i(2y-y))/(x²+y²-2y+1)
z' = (-x + i(2y-y))/(2y-2y+1)
z' = -x + i.y
z' = x' + i.y'
x' = -x
y' = y
x = -x'
y = y'
x² + (y-1)² = 1
(-x')² + (y'-1)² = 1
x'² + (y'-1)² = 1
Et donc M' est aussi sur le cercle de centre A(0 ; 1) et de rayon 1.
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Sauf distraction. 
Bonjour
plan complexe, nombres complexes
Philoux
Exo 2.
a)
f(z)=((3+4i).z(barre) +4-8i)/5
z = x+iy
f(z)=((3+4i).(x-iy) +4-8i)/5
f(z) = (3x-3iy+4ix+4y+4-8i)/5
f(z) = ((3x+4y+4) + i(4x-3y-8))/5
Partie Réelle de f(z) = (3x+4y+4)/5
Partie Imaginaire de f(z) = (4x-3y-8)/5
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b)
f(z) = z
((3x+4y+4) + i(4x-3y-8))/5 = x+iy
On a le système:
(3x+4y+4)/5 = x
(4x-3y-8)/5 = y
3x+4y+4 = 5x
4x-3y-8 = 5y
-2x+4y+4 = 0
4x-8y-8 = 0
x - 2y - 2 = 0
x - 2y - 2 = 0
Ces 2 équation sont équivalentes.
--> L'ensemble D des points du plan complexe d'affixe z telle que f(z)=z est la droite d'équation x - 2y - 2 = 0.
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Sauf distraction.
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