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Niveau Licence Maths 1e ann
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nilpotent endomorphisme

Posté par
Molotov79
10-05-22 à 13:45

Bonjour chers membres je voudrai de l'aide piur mon execrcice que voici:

Exercice:
Soit f un endomorphisme de R3 avec f2=0.
Montrer qu'il existe v dans R^3 et g(x) dans L(R3,R) tel que
f(x)=g(x)v

Ce que j'ai fait:
comme f2=0 <==>Imf\subset Kerf et avec le theoreme du rang on en déduit que rgf\leq 1 donc il existe v dans R3 tel que pour tout x dans R3 on peut trouver \lambdax tel que
f(x)=\lambdaxv


Derniére etape:
Je n'arrive pas à montrer que :

\lambdax dépend linéairement de x pour
conclure :?

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 10-05-22 à 13:56

salut

énoncé pas clair :

Molotov79 @ 10-05-2022 à 13:45

Soit f un endomorphisme de R3 avec f2=0.
Montrer qu'il existe v dans R^3 et g(x) que vient faire ce x dans g(x) ?dans L(R3,R) tel que est-ce pour tout x ? f(x)=g(x)v


regarde alors f(x+ y) = kx + yv et compare avec f(x) + f(y) = kxv + kyv

puis ce qui se passe aussi quand tu regardes f(ax) ...

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 10-05-22 à 14:22

Bonjour carpediem , toujours là depuis ma 2nd
effectivement c'est juste g et non g(x)

comment est defini y dans f(x+y)

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 10-05-22 à 18:48

comme tu l'as écrit dans "ce que j'ai fait" :

si c'est vrai quel que soit x c'est donc vrai quel que soit y et dons aussi quel que soit x + y

mais tu sais aussi que f(x + y) = f(x) + f(y) donc ...

même si pour l'instant je ne suis pas persuadé par ton " ce que je fait" ... je poursuis simplement dans la logique de ce que tu as écrit ...



mais quand même : il existe w non nul tel que f(w) = v 0     (sinon f = 0 (ce qui n'est pas le cas))

et Im f = vec (v)

et évidemment f(v) = f2 (w) = 0

et il existe un autre vecteur u linéairement indépendant de w tel que f(u) = 0

et donc (w, f(w), u) est une base de R3

alors pour tout vecteur x de R3 : x = pw + qf(w) + ru

et f(x)= pf(w) = pv

...

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 13-05-22 à 18:43

En fait quel est l'idée de la démonstration ? c'est-à dire où voulons nous arriver ?

d'ailleurs je sais que si fp=0 alors la famille (x,f(x), . . . ,fp-1(x)) est libre

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 13-05-22 à 18:47

ce que je vois c'est que vous avec complété en une base de R3 la famille libre là

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 13-05-22 à 21:05

Molotov79 @ 13-05-2022 à 18:43

En fait quel est l'idée de la démonstration ? c'est-à dire où voulons nous arriver ?

tout simplement à
Molotov79 @ 10-05-2022 à 13:45

Montrer qu'il existe v dans R^3 et g(x) dans L(R3,R) tel que  f(x)=g(x)v

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nilpotent endomorphisme 14-05-22 à 09:16

Bonjour,
Mon petit grain de sel :

Citation :
il existe w non nul tel que f(w) = v 0 (sinon f = 0 (ce qui n'est pas le cas))
Pourquoi f ne peut-il être l'endomorphisme nul ?

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 14-05-22 à 09:49

si f est l'endomorphisme nul alors l'exercice tombe à l'eau : il suffit de prendre pour g la fonction nulle ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nilpotent endomorphisme 14-05-22 à 11:13

Pour moi, l'exercice ne tombe pas à l'eau.
C'est un cas particulier à traiter.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nilpotent endomorphisme 14-05-22 à 11:22

L'autre cas étant dim(Im f) = 1.
Je résume cet autre cas :
Soit v un vecteur non nul de Im f.
Il engendre Im f.
Pour tout x de 3, il existe un unique réel k tel que f(x) = k.v ; on peut noter g(x) ce réel.
Il reste à démontrer que g est linéaire.

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 14-05-22 à 11:41

Sylvieg @ 14-05-2022 à 11:13

Pour moi, l'exercice ne tombe pas à l'eau.
C'est un cas particulier à traiter.
oui bien sûr !!

ce que je veux dire si qu'il n'y a aucune difficulté à résoudre ce cas particulier ...

pour l'autre cas je l'ai quasiment fait à 18h48 ...

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 15-05-22 à 18:09

Je suis perdu ,
en fait depuis 2 jours j'essaie de montrer que ce reel est lineaire mais malheureusement pour moi

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 15-05-22 à 18:44

carpediem @ 10-05-2022 à 18:48

mais quand même : il existe w non nul tel que f(w) = v 0     (sinon f = 0 (ce qui n'est pas le cas))

et Im f = vec (v)

et évidemment f(v) = f2 (w) = 0

et il existe un autre vecteur u linéairement indépendant de w tel que f(u) = 0

et donc (w, f(w), u) est une base de R3

alors pour tout vecteur x de R3 : x = pw + qf(w) + ru

et f(x)= pf(w) = pv ...

donc g(x) = p

et g est évidemment linéaire ... puisque l'expression d'un vecteur dans une base est linéaire ...

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 15-05-22 à 18:48

PS :  la matrice de f dans la base (w, f(w), u) est M =

0 0 0
1 0 0
0 0 0

tu peux vérifier que M^2 = O

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nilpotent endomorphisme 17-05-22 à 10:14

Sylvieg @ 14-05-2022 à 11:22

L'autre cas étant dim(Im f) = 1.
Je résume cet autre cas :
Soit v un vecteur non nul de Im f.
Il engendre Im f.
Pour tout x de 3, il existe un unique réel k tel que f(x) = k.v ; on peut noter g(x) ce réel.
Il reste à démontrer que g est linéaire.
@Molotov79,
As-tu essayé de démontrer que g est une application linéaire de 3 vers ?
C'est possible sans faire intervenir une base.
Par définition de g, pour tout x de 3 on a
f(x) = g(x).v
Avec a et b réels, on cherche à démontrer g(ax+by) = ag(x)+bg(y).
D'une part :
f(ax+by) = g(ax+by).v
D'autre part :
f(ax+by) = af(x)+bf(y) = ag(x).v + bg(y).v = ( ag(x) + bg(y) ).v
D'où ....

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 17-05-22 à 16:33

Ah je vois mieux car avec des lambda cela me paraissait un peu dur ,
Merci Sylvieg et carpediem c'est gentil de m'accorder votre temps

Posté par
mousse42
re : nilpotent endomorphisme 17-05-22 à 19:13

Salut, je propose une piste.

f^2=0 on déduit que f(\R^3)\subset \ker f, à partir du théorème du rang, le rang de f est soit égal 0 ou à 1.

On suppose que \dim f(\R^3)=1.

On sait que

\begin{array}{ll}f(x,y,z)&=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3) \\&=x(\alpha_1f_1+\beta_1f_2+\gamma_1f_3)+y(\alpha_2f_1+\beta_2f_2+\gamma_2f_3)+z(\alpha_3f_1+\beta_3f_2+\gamma_3f_3)\\&=(x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3)f_1+(x\beta_1+y\beta_2+z\beta_3)f_2+(x\gamma_1+y\gamma_2+z\gamma_3)f_3\end{array}

Or rg f= 1, il existe donc k,k'\in \R tels que:

(x\beta_1+y\beta_2+z\beta_3)=k(x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3)
(x\gamma_1+y\gamma_2+z\gamma_3)=k'(x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3)

Ainsi f(x,y,z)=(x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3)(f_1+kf_2+k'f_3)


Note que x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3=0 est l'équation du plan correspondant à \ker f
 \\

Il suffit de poser g(x,y,z)=x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3\in \R et choisir le vecteur (f_1+kf_2+k'f_3)

et on a bien f(x,y,z)=g(x,y,z)(f_1+kf_2+k'f_3)

Posté par
mousse42
re : nilpotent endomorphisme 17-05-22 à 21:33

On peu faire plus simple :

f(x,y,z)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)

Puisque f est de rang 1, on a f(e_2)=af(e_1) et f(e_3)=bf(e_1) avec f(e_1)\in \ker f
 \\

Ainsi on a : f(x,y,z)=xf(e_1)+ayf(e_2)+bzf(e_1)=(x+ay+bz)f(e_1)=g(x,y,z)f(e_1)

Posté par
mousse42
re : nilpotent endomorphisme 17-05-22 à 21:42

pour être plus rigoureux, plutôt que de choisir f(e_1), c'est d'ajouter ceci : puisque f est de rang 1, il existe i\in\{1,2,3\} tel que f(e_i)\ne 0_{R^3} et de travailler avec ce vecteur. Sinon dans mon message précédent il faut ajouter ( sans perte de généralité, on suppose que f(e_1) est non nul.

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 17-05-22 à 23:36

Bonsoir, Aïe mousse42 je tiens tout d'abord à te remercier car je ne dirai jamais non à une contribution
c'est un peu  ardue comme fin de démonstration pour mon simple niveau

Posté par
mousse42
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 00:34

oublie mon post de 19:13, c'est correct mais je me complique la vie.
Regarde cette démo qui n'est pas compliqué et largement à ta portée. Il faut bien sûr supposer que f(e_1) est non nul


mousse42 @ 17-05-2022 à 21:33

On peu faire plus simple :

f(x,y,z)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)

Puisque f est de rang 1, on a f(e_2)=af(e_1) et f(e_3)=bf(e_1) avec f(e_1)\in \ker f
 \\

Ainsi on a : f(x,y,z)=xf(e_1)+ayf(e_2)+bzf(e_1)=(x+ay+bz)f(e_1)=g(x,y,z)f(e_1)

Posté par
mousse42
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 00:42


Correction en rouge :

oublie mon post de 19:13, c'est correct mais je me complique la vie.
Regarde cette démo qui n'est pas compliqué et largement à ta portée. Il faut bien sûr supposer que f(e_1) est non nul


mousse42 @ 17-05-2022 à 21:33

On peu faire plus simple :

f(x,y,z)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)

Puisque f est de rang 1, on a f(e_2)=af(e_1) et f(e_3)=bf(e_1) avec f(e_1)\in \ker f
 \\

Ainsi on a : f(x,y,z)=xf(e_1)+ayf(\textcolor{red}{e_1})+bzf(e_1)=(x+ay+bz)f(e_1)=g(x,y,z)f(e_1)

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 01:26

Bonsoir,
Oui cela semble plus simple , mais est-ce que g(x) n'est pas seulement en fonction de x ?

Posté par
mousse42
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 01:40

Ton x est un élément de R^3, c'est donc un triplet et on a x=(x_1,x_2,x_3) avec x_1, x_3,x_3 trois scalaires.

J'ai utilisé le vecteur (x,y,z) qui est un triplet avec x,y,z trois scalaires.

Pour faire simple ton x est un triplet de \R^3 et mon x est un élément de \R

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 02:47

Parfait merci à vous tous et esperant bien vous revoir dans mes prochaines posts , mousse42 merci à toi qui est très dynamique espérant te revoir bientôt sur mes prochains posts

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 15:28

mousse42 : honnêtement ce que tu as fait est exactement une redite de 18h44 ...

il existe des vecteurs u, v et w avec u et v non nuls tels que f(u) = v et f(v) = f2(u) = f(w) = 0

donc Im f = <u> et Ker f = <v, w> et on a bien Im f Ker f

tels que (u, v, w) est une base et pour tout x = pu + qv + rw alors f(x) = g(x)v avec g(x) = p

et g est évidemment une application linéaire car g(x) = \dfrac {x \cdot u}{u \cdot u}    (produit scalaire)

et on "sait" que le produit scalaire est bilinéaire donc g est linéaire !!!

Posté par
mousse42
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 15:34

Salut carpediem

J'ai proposer une autre solution, ou plutôt une autre démarche, c'est tout. Je n'ai pas fait de remarque sur ce qui a été dit plus haut.
Avoue quand même que mon approche est beaucoup plus simple.

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 15:44

avec toutes ces lettres et tous ces indices je dois t'avouer que je me suis perdu dès la première ligne (calcul de f(x, y, z) !!

Posté par
mousse42
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 15:50

tu as remarqué que j'ai rectifié le tir et proposé quelque chose de plus simple

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 17:04

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 17:06

tu remarqueras que ma démo tient en cinq quasiment toutes en français (hormis quelques "formules" ou égalités) et "aucun" calcul !!

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 18-05-22 à 17:07

en cinq lignes !!

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 22-05-22 à 18:28

Et la demonstration de Sylvieg n'est elle pas plus facile ou bien ?

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 22-05-22 à 19:04

Sylvieg résume de façon concise ce que j'ai fait à 15h28 en détail ...

mais si tu rentres dans les détails ça reviendra à ce que j'ai fait ...

Posté par
Molotov79
re : nilpotent endomorphisme 23-05-22 à 20:11

je peux rediger sur ma copie ce que sylvieg a fait ou bien ?

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 23-05-22 à 20:21

montre ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : nilpotent endomorphisme 24-05-22 à 17:46

Bonjour,
Pas très disponible ces temps ci.
Ce que j'ai donné comme piste le 17/09 à 10h14 est détaillé et ne fait pas intervenir de base de 3, ni de produit scalaire.
Uniquement un vecteur non nul de Im(f).
Il ne reste qu'une ligne, au maximum deux, à écrire pour conclure.

Posté par
carpediem
re : nilpotent endomorphisme 24-05-22 à 17:57

oui ...

si je donne g c'est uniquement en bonus ... du fait d'avoir expliciter une base à partir d'un vecteur x convenable ...

on peut se passer effectivement de la base et de la détermination explicite de g ...



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