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nilpotent endomorphisme
Bonjour chers membres je voudrai de l'aide piur mon execrcice que voici:
Exercice:
Soit f un endomorphisme de R3 avec f2=0.
Montrer qu'il existe v dans R^3 et g(x) dans L(R3,R) tel que
f(x)=g(x)v
Ce que j'ai fait:
comme f2=0 <==> et avec le theoreme du rang on en déduit que
donc il existe v dans R3 tel que pour tout x dans R3 on peut trouver
x tel que
f(x)=xv
Derniére etape:
Je n'arrive pas à montrer que :
x dépend linéairement de x pour conclure
:?
salut
énoncé pas clair :
Soit f un endomorphisme de R3 avec f2=0.
Montrer qu'il existe v dans R^3 et g(x) que vient faire ce x dans g(x) ?dans L(R3,R) tel que est-ce pour tout x ? f(x)=g(x)v
regarde alors f(x+ y) = kx + yv et compare avec f(x) + f(y) = kxv + kyv
puis ce qui se passe aussi quand tu regardes f(ax) ...
Bonjour carpediem , toujours là depuis ma 2nd 
effectivement c'est juste g et non g(x)
comment est defini y dans f(x+y)
comme tu l'as écrit dans "ce que j'ai fait" :
si c'est vrai quel que soit x c'est donc vrai quel que soit y et dons aussi quel que soit x + y
mais tu sais aussi que f(x + y) = f(x) + f(y) donc ...
même si pour l'instant je ne suis pas persuadé par ton " ce que je fait" ... je poursuis simplement dans la logique de ce que tu as écrit ...
mais quand même : il existe w non nul tel que f(w) = v 
0 (sinon f = 0 (ce qui n'est pas le cas))
et Im f = vec (v)
et évidemment f(v) = f2 (w) = 0
et il existe un autre vecteur u linéairement indépendant de w tel que f(u) = 0
et donc (w, f(w), u) est une base de R3
alors pour tout vecteur x de R3 : x = pw + qf(w) + ru
et f(x)= pf(w) = pv
...
En fait quel est l'idée de la démonstration ? c'est-à dire où voulons nous arriver ?
d'ailleurs je sais que si fp=0 alors la famille (x,f(x), . . . ,fp-1(x)) est libre
En fait quel est l'idée de la démonstration ? c'est-à dire où voulons nous arriver ?
tout simplement à
Montrer qu'il existe v dans R^3 et g(x) dans L(R3,R) tel que f(x)=g(x)v
Bonjour,
Mon petit grain de sel :
il existe w non nul tel que f(w) = v
0 (sinon f = 0 (ce qui n'est pas le cas))si f est l'endomorphisme nul alors l'exercice tombe à l'eau : il suffit de prendre pour g la fonction nulle ...
L'autre cas étant dim(Im f) = 1.
Je résume cet autre cas :
Soit v un vecteur non nul de Im f.
Il engendre Im f.
Pour tout x de 
3, il existe un unique réel k tel que f(x) = k.v ; on peut noter g(x) ce réel.
Il reste à démontrer que g est linéaire.
Pour moi, l'exercice ne tombe pas à l'eau.
C'est un cas particulier à traiter.
ce que je veux dire si qu'il n'y a aucune difficulté à résoudre ce cas particulier ...
pour l'autre cas je l'ai quasiment fait à 18h48 ...
Je suis perdu ,
en fait depuis 2 jours j'essaie de montrer que ce reel est lineaire mais malheureusement pour moi
mais quand même : il existe w non nul tel que f(w) = v
0 (sinon f = 0 (ce qui n'est pas le cas))
et Im f = vec (v)
et évidemment f(v) = f2 (w) = 0
et il existe un autre vecteur u linéairement indépendant de w tel que f(u) = 0
et donc (w, f(w), u) est une base de R3
alors pour tout vecteur x de R3 : x = pw + qf(w) + ru
et f(x)= pf(w) = pv ...
donc g(x) = p
et g est évidemment linéaire ... puisque l'expression d'un vecteur dans une base est linéaire ...
PS : la matrice de f dans la base (w, f(w), u) est M =
0 0 0
1 0 0
0 0 0
tu peux vérifier que M^2 = O
L'autre cas étant dim(Im f) = 1.
Je résume cet autre cas :
Soit v un vecteur non nul de Im f.
Il engendre Im f.
Pour tout x de
3, il existe un unique réel k tel que f(x) = k.v ; on peut noter g(x) ce réel.
Il reste à démontrer que g est linéaire.
As-tu essayé de démontrer que g est une application linéaire de
3 vers ?
C'est possible sans faire intervenir une base.
Par définition de g, pour tout x de
3 on a
f(x) = g(x).v
Avec a et b réels, on cherche à démontrer g(ax+by) = ag(x)+bg(y).
D'une part :
f(ax+by) = g(ax+by).v
D'autre part :
f(ax+by) = af(x)+bf(y) = a
g(x).v + bg(y).v = ( ag(x) + bg(y) ).v
D'où ....
Ah je vois mieux car avec des lambda cela me paraissait un peu dur ,
Merci Sylvieg et carpediem c'est gentil de m'accorder votre temps
Salut, je propose une piste.
on déduit que
, à partir du théorème du rang, le rang de f est soit égal 0 ou à 1.
On suppose que .
On sait que
Or rg f= 1, il existe donc tels que:
Ainsi
Note que est l'équation du plan correspondant à
Il suffit de poser et choisir le vecteur
et on a bien
pour être plus rigoureux, plutôt que de choisir , c'est d'ajouter ceci : puisque f est de rang 1, il existe
tel que
et de travailler avec ce vecteur. Sinon dans mon message précédent il faut ajouter ( sans perte de généralité, on suppose que
est non nul.
Bonsoir, Aïe mousse42 je tiens tout d'abord à te remercier car je ne dirai jamais non à une contribution
c'est un peu ardue comme fin de démonstration pour mon simple niveau
oublie mon post de 19:13, c'est correct mais je me complique la vie.
Regarde cette démo qui n'est pas compliqué et largement à ta portée. Il faut bien sûr supposer que est non nul
On peu faire plus simple :
Puisque f est de rang 1, on a
Ainsi on a :
Correction en rouge :
oublie mon post de 19:13, c'est correct mais je me complique la vie.
Regarde cette démo qui n'est pas compliqué et largement à ta portée. Il faut bien sûr supposer que est non nul
On peu faire plus simple :
Puisque f est de rang 1, on a
Ainsi on a :
Ton est un élément de
, c'est donc un triplet et on a
avec
trois scalaires.
J'ai utilisé le vecteur qui est un triplet avec
trois scalaires.
Pour faire simple ton est un triplet de
et mon
est un élément de
Parfait merci à vous tous et esperant bien vous revoir dans mes prochaines posts , mousse42 merci à toi qui est très dynamique espérant te revoir bientôt sur mes prochains posts
mousse42 : honnêtement ce que tu as fait est exactement une redite de 18h44 ...
il existe des vecteurs u, v et w avec u et v non nuls tels que f(u) = v et f(v) = f2(u) = f(w) = 0
donc Im f = <u> et Ker f = <v, w> et on a bien Im f 
Ker f
tels que (u, v, w) est une base et pour tout x = pu + qv + rw alors f(x) = g(x)v avec g(x) = p
et g est évidemment une application linéaire car (produit scalaire)
et on "sait" que le produit scalaire est bilinéaire donc g est linéaire !!!
Salut carpediem
J'ai proposer une autre solution, ou plutôt une autre démarche, c'est tout. Je n'ai pas fait de remarque sur ce qui a été dit plus haut.
Avoue quand même que mon approche est beaucoup plus simple.
avec toutes ces lettres et tous ces indices je dois t'avouer que je me suis perdu dès la première ligne (calcul de f(x, y, z) !!
tu remarqueras que ma démo tient en cinq quasiment toutes en français (hormis quelques "formules" ou égalités) et "aucun" calcul !! 
Sylvieg résume de façon concise ce que j'ai fait à 15h28 en détail ...
mais si tu rentres dans les détails ça reviendra à ce que j'ai fait ...
Bonjour,
Pas très disponible ces temps ci.
Ce que j'ai donné comme piste le 17/09 à 10h14 est détaillé et ne fait pas intervenir de base de 3, ni de produit scalaire.
Uniquement un vecteur non nul de Im(f).
Il ne reste qu'une ligne, au maximum deux, à écrire pour conclure.
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