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Nombre Complexe 1'

Posté par
Mathes1 17-02-21 à 20:38

Bonjour à tous
J'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance
•pour tout z-{1/2 i} , on pose
Z=\dfrac{z+2i}{2z+i}
Montrer l'équivalence suivante |Z|=1 |z|=1
Comment faire s'il vous plaît une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
J'ai fait
|Z|=|\dfrac{z+2i}{2z+i}|<=> \dfrac{|z+2i|}{|2z+i|}=1 <=> |z+2i|=|2z+i|
Mais on ne trouve pas l'objectif
qui est  |Z|=1<=>|z|=1
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Priamre : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 21:00

Bonsoir,
Tu pourrais remplacer  z  par  x + iy  et développer.

Posté par
Pirhore : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 21:01

Bonjour,

pars de

|z\,+2\, i|^2=|2 z\,+\,i|^2

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 21:09

Bonjour
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses et vos conseils !
J'ai effectivement remplacer z par x+iy mais j'ai aboutit malheureusement à aucun résultat
|z\,+2\, i|^2=|2 z\,+\,i|^2
Est ce que je dois remplacer z par x+iy

Posté par
Pirhore : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 21:13

non |z|^2=z\,\bar{z}

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 21:31

Bonjour
J'ai trouvé le résultat :
|z\,+2\, i|=|2 z\,+\,i|
<=> |x+(y+2)i | =|2x+i(2y+1)|
<=> \sqrt {x²+y²+4y+4}=\sqrt{4x²+4y²+4y+1}<=> x²+y²+4y+4=4x²+4y²+4y+1<=> x²+y²+4y-4x²-4y²-4y=-3 <=>
<=> -3x²-3y²+4y-4y=-3<=> -3x²-3y²=-3<=> x²+y²=1 <=> |z|=1
Est ce que c'est juste ?
Merci beaucoup

Posté par
Pirhore : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 21:39

pourquoi passer par la décomposition de z alors qu'il suffit de développer

|z+2i|^2=|2z+i|^2

\large(z+2\,i)(\bar{z}-2\,i)=(2\,z+i)(2\,\bar{z}-i)

....

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 21:50

D'accord
\large(z+2\,i)(\bar{z}-2\,i)=(2\,z+i)(2\,\bar{z}-i)
<=> z\bar z-2iz+2i\bar z +4=4z\bar z -2zi +2\bar z i+1<=> -3z\bar z =-3 <=>z\bar z=1 <=> x²+y²=1 <=> |z|=1
Est ce que c'est juste ?
Merci beaucoup

Posté par
Pirhore : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 21:58

Mathes1 @ 17-02-2021 à 21:50

D'accord
\large(z+2\,i)(\bar{z}-2\,i)=(2\,z+i)(2\,\bar{z}-i)
<=> z\bar z-2iz+2i\bar z +4=4z\bar z -2zi +2\bar z i+1<=> -3z\bar z =-3 <=>z\bar z=1 <=> \textcolor{red}{|z|^2}=1 <=> |z|=1



personnellement quand c'est possible(et je ne suis pas le seul sur l'île), je ne décompose pas z en partie réelle et imaginaire, c'est d'ailleurs souvent moins calculatoire

Posté par
Mathes1re : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 22:02

Merci beaucoup à vous
Bonne soirée

Posté par
Pirhore : Nombre Complexe 1' 17-02-21 à 22:05

de rien et surtout pense à mon commentaire quand tu devras encore traiter de complexes


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