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Nombre complexe
Bonjour!
Soit le nombre complexe u=1+i et son conjugué
1)a) Mettre u et sous forme trigonométrique.
b)Soit n un entier naturel.On pose Sn=u+
. Déduire de a que Sn=
ncos(n
ou
n est un réel à préciser en fonction de n
c) Pour quelles valeurs de n a-t-on Sn=0 ?
d)Prouvez que si n est pair, Sn est un entier relatif
Pour 1)a j'ai trouvé u=e
et
=
e
1)b n=2
1)c) n=2 ou -2 Il y a t-il d'autres valeurs?
1)d) Je ne vois pas comment faire
Merci d'avance pour votr aide
salut,
1.a) et b) OK
1.c)
Sn=0 <=> ou k est un entier.
<=> n = 2+4k pour tout entier k. donc n=2,n=6,n=10,.... mais pas -2 car n est positif! (entier naturel)
d) si n est pair, n peut s'écrire sous la forme n=2p ou p est un entier naturel.
alors
et comme p est un entier alors
et qui est entier!
donc Sn est un entier relatif pour n pair.
Pour la 1a, tu as indiqué la forme exponentielle et pas la trigononométrique.
u = V2.(cos(Pi/4) + i.sin(Pi/4))
u(barre) = V2.(cos(-Pi/4) + i.sin(-Pi/4))
Les angles à un multiple de 2Pi près
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b)
u^n = (V2)^n.(cos(n.Pi/4) + i.sin(n.Pi/4))
u(barre) ^n = (V2)^n.(cos(-n.Pi/4) + i.sin(-n.Pi/4))
u(barre) ^n = (V2)^n.(cos(n.Pi/4) - i.sin(n.Pi/4))
u^n + u(barre) ^n = (V2)^n.(cos(n.Pi/4) + i.sin(n.Pi/4)+cos(n.Pi/4) - i.sin(n.Pi/4))
u^n + u(barre) ^n = (V2)^n.(cos(n.Pi/4) + cos(n.Pi/4))
u^n + u(barre) ^n = 2.(V2)^n.cos(n.Pi/4)
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c)
Sn = 0 si cos(n.Pi/4) = 0.
Soit pour n.Pi/4 = Pi/2 + k.Pi
-> n = 2 + 4k (avec k dans N).
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d)
Sn = 2.(V2)^n.cos(n.Pi/4)
si n est pair, on peut écrire que n = 2m (avec m dans N)
->
Sn = 2.(V2)^n.cos(2m.Pi/4)
Sn = 2.(V2)^n.cos(m.Pi/2)
et donc les 2 seules valeurs possibles pour cos(m.Pi/2) sont -1 et +1
Et comme 2.(V2)^n est un nombre entier strictement positif pour tout n de N, Sn est le produit d'un nombre entier positif par 1 ou par -1 et donc Sn est un entier relatif.
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Sauf distraction. 
Je corrige ma réponse précédente:
... et donc les 3 seules valeurs possibles pour cos(m.Pi/2) sont -1 , 0 et +1
Et comme 2.(V2)^n est un nombre entier strictement positif pour tout n de N, Sn est le produit d'un nombre entier positif par -1 ou par 0 oopar 1 et donc Sn est un entier relatif.
Merci J-P
La suite je n'y arrive pas
2) On suppose que n est un entier naturel pair et on pose n=2m
a) Ecrire, par la formule du binôme, les développements de (1+i) et (1-i)
à l'aide des puissances de i, puissances que l'on ne cherchera pas à simplifier dans cette question.
b) Pour p entier naturel, simplifier:
i+(-i)
et i+(-i)
c) Exemple n=24 (donc m=12)
En utilisant les résultas du 1. et ce qui précède, montrer que:
Merci beaucoup
Aide partielle.
2)
a)
(1+i)^(2m) = 1 + 2m.i + [2m(2m-1)/(1*2)]i² + [2m(2m-1)(2m-2)/(1*2*3)]i³ + ...
(1-i)^(2m) = 1 + 2m.(-i) + [2m(2m-1)/(1*2)].(-i)² + [2m(2m-1)(2m-2)/(1*2*3)].(-i)³ + ...
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b)
i^(2p+1) + (-i)^(2p+1) = i.(i^2)^p + (-i).((-i)^2)^p
i^(2p+1) + (-i)^(2p+1) = i.(-1)^p + (-i).(-1)^p = 0
i^(2p) + (-i)^(2p) = (i²)^p + ((-i)^2)^p = (-1)^p + (-1)^p
i^(2p) + (-i)^(2p) = 2.(-1)^p (donc -2 si p est impair et 2 si p est pair)
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Sauf distraction, vérifie.
Merci encore J-P. Mais pour la dernière question je dois faire comment? Merci d'avance
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