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nombre complexe

Posté par
laulau62 18-09-11 à 10:56

Bonjour a tous , j'ai un exercice pour demain mais je n'y arrive pas :

On pose i=-(1/2)+((i√3)/2)
a) Calculer i²,i^3 et i^n suivant les valeur de l'entier naturel n
b) Verifier que 1+i+i²=0
c) Calculer la somme S'=1+i+i²+...+i^2001+i^2002 .

Voila merci pour votre aide.

Posté par
cailloux Correcteurre : nombre complexe 18-09-11 à 11:48

Bonjour,

a) j^2=\left(-\frac{1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}

j^2=-\frac{1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\bar{j}

j^3=j\bar{j}=|j|^2=1

j^{3k}=(j^3)^k=1

j^{3k+1}=j^{3k}j=j

j^{3k+2}=j^{3k}j^2=j^2=\bar{j}

b) 1+j+j^2=1+j+\bar{j}=1+2\,\Re(j)=1-1=0

c) S'=\dfrac{1-j^{2003}}{1-j}

S'=\dfrac{1-j^2}{1-j}=1+j=\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Posté par
cailloux Correcteurre : nombre complexe 18-09-11 à 11:49

A la seconde ligne, il faut bien sûr lire:

j^2=-\frac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\bar{j}

Posté par
laulau62re 18-09-11 à 11:55

Merci je comprend pour i² mais je ne comprend pas pour i^3.
Peux tu mexplique juste pour i^3 stp

Posté par
cailloux Correcteurre : nombre complexe 18-09-11 à 12:01

j^3=j\times j^2=j\times \bar{j}

Or le cours nous dit que pour tout nombre complexe Z, Z\bar{Z}=|Z|^2

Donc j^3=j\times \bar{j}=|j|^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1

Posté par
laulau62re : nombre complexe 18-09-11 à 12:06

Merci bocoup puis pour i^n sa fait quoi parce que je vois pas ou tu la fait stp

Posté par
laulau62re : nombre complexe 18-09-11 à 12:27

Et je ne trouve pas comment faire

Posté par
cailloux Correcteurre : nombre complexe 18-09-11 à 12:48

J' ai examiné les 3 cas:

n=3k, n=3k+1 et n=3k+2

Regarde bien...

Posté par
laulau62re : nombre complexe 18-09-11 à 15:13

Ouia g vu donc i^n= ?

Je ne trouve pas

Posté par
cailloux Correcteurre : nombre complexe 18-09-11 à 23:51

Pas de langage SMS sur l'

Tu n' as rien vu du tout: tout est écrit à 11h48.

Essaie de faire l' effort de lire; c' est un minimum...


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