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nombre complexe
On considere le polynome P ou P(z) = z^3 + (1-2i)z² +(1-2i)z - 2i
1) montrer que P admet une racine imaginaire pure notée z0
2) determiner les trois reel a b c tel que:
P(z) = ( z - z0 ) ( az² + bz + c ) avec donc z0 = 2i
pour la premiere question jai trouver que l'imaginaire pure est egal a 2i ensuite en developpant P(z) je trouve az^3 + bz² + cz - 2iaz² - 2ibz - 2ic
Je voulais juste savoir si qqun pourrait me montrer comment on retrouve les trois reel a partir de la methode par identification!
merci d'avance
salut l'italien
eh bien tu commences par ordonner ce que tu trouves donc d'abord les z^3 puis les z² puis les z et enfin le reste
et ensuite tu identifies membre à membre avec P(z)=z^3 + (1-2i)z² +(1-2i)z - 2i
par exemple az^3 =z^3 donc a=1
etc etc
ciao bello
Bonsoir, alors
pour la 1.
en effet c'est z0 = 2i et donc P(2i)=0
pour la 2.
az^3 + bz² + cz - 2iaz² - 2ibz - 2ic
<=>
az^3 + (b - 2ia)z² + (c - 2ib)z - 2ic
Donc
z^3 + (1-2i)z² +(1-2i)z - 2i = az^3 + (b - 2ia)z² + (c - 2ib)z - 2ic
identifions ces deux expressions de P.
Théorème : Deux polynômes sont égaux si et seulement si pour tout z complexe, les termes de même degrés sont égaux.
Donc :
a = 1
1-2i = b - 2ia
1-2i = c - 2ib
- 2i = - 2ic
Ce qui équivaut à :
a = 1
b = 1-2i+2ia = 1
c = 1-2i+2ib = 1
c = -2i/-2i = 1
Donc :
P(z)=z^3 + (1-2i)z² +(1-2i)z - 2i= (z-2i)(z²+z+1)
Voila, en espérant avoir été clair
@+
ok je te remercie
mais vu que a=3
pour trouver b j'ai : bz² - 2iaz² et donc je remplace a par 1 mais je vois pas comment continuer pour justement trouver b
si tu peux m'éclairer se serais sympa
merci
bonsoir,
en mettant en facteur le P(z) tu trouves :
et en identifiant les termes de meme puissance de z tu trouves
a=1
b-2ai=1-2i
c-2bi=1-2i
a=1 ; b=1 ; c=1 en remplacant a et b au fur et a mesure
A plus
Paulo
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