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Nombre complexe
Salut! J'ai un peu de mal sur un exercice d'un DM, pouvez-vous m'aider?
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O; vecteur u, vecteur v), A est le point d'affixe 2. À tout point
M d'affixe z tel que z
zA, on associe le point M' d'affixe z' défini par
z'= -4/(z-2)
(a) Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2, on a :|z'-2|=(2|z|)/|z-2|
(b) I. M étant un point d'affixe z, donner une interprétation géométrique de |z| et de |z-2|
Déterminer et construire l'ensemble D des points M du plan tels que |z|=|z-2|
II. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D.
Démontrer que le point M' associé à M appartient à un cercle T dont on précisera le centre et le rayon.
tracer T.
(c) On pose z=x+iy, écrire z' sous forme algébrique et déterminer l'ensemble 
des points M tels que l'affixe de M' soit un imaginaire pur.
Ce que j'ai fait:
(a) |z'-2| = |(-4/(z-2))-2| = |(-4-2z+4)/(z-2)| = |-2z|/|z-2| = (2|z|)/|z-2|)
Je bloque à partir de là, je ne vois pas quelle géométrique graphique donner....
Bonsoir Croquignoleto
(b) I. |z| = OM et |z-2|=AM.
L'ensemble des points tels que |z|=|z-2| est l'ensemble des points M situés à égale distance de O et de A.
L'ensemble D est ...
On pourrait également le montrer en écrivant Z sous forme algébrique.
II. Si M appartient à D, alors : |z|=|z-2|
Que vaut |z'-2| ? (utilise la question a)
(c)
Tu imposes ensuite que la partie réelle soit nulle.
J'ai oublié de te donner un petit rappel utilisé dans cet exercice :
Si ZA et ZB sont les affixes respectives de deux points A et B alors :.
Bonsoir Hiphigenie et merci pour tes réponses.
(b) I. L'ensemble D est le cercle de centre O et de rayon 2?
II. Si M appartient à D, alors : |z|=|z-2|
|z'-2|=(2|z|)/|z-2|
Je n'arrive pas à continuer puisque je n'arrive pas à déterminer z...
(b) I. L'ensemble D est le cercle de centre O et de rayon 2?
Quel est l'ensemble des points M situés à égale distance des deux points O et A ?
... et particulièrement ceci :
Théorème : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Je ne comprend vraiment pas! Avec ta page je tire la conclusion que ça serait L'ensemble des points M tels que OM=OA mais ça ne marche pas.
Je reprends ce que j'ai écrit à 00h36 et je développe :
(b) I. |z| = OM et |z-2|=AM.
L'ensemble des points tels que |z|=|z-2| est l'ensemble des points M tels que OM=AM
L'ensemble des points tels que |z|=|z-2| est l'ensemble des points M situés à égale distance de O et de A (puisque OM=OA)
Or : Théorème : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
c'est-à-dire :
Théorème : Si un point M est équidistant des extrémités O et A du segment [OA], alors ce point M appartient à la médiatrice de ce segment [OA].
Quel est l'ensemble de ces points M ?
Ahhhh mais oui ça ne peut pas être un cercle! L'ensemble est donc la médiatrice du segment OA!
Et ce n'est pas un hasard si cet ensemble se note par D puisque cet ensemble est une droite...
II. Si M appartient à D, alors : |z|=|z-2|
|z'-2|=(2|z|)/|z-2|
C'est bon, j'ai compris pour cette question je pense:
|z| = |z-2|
|z'-2| = (2|z|)/|z-2|
donc |z'-2| = (2|z|)/|z| = 2
donc M' appartient au cercle de centre A et de rayon 2.
Ah d'accord, j'étais à côté de plaque avec mes calculs.
On résout donc Re=0 ce qui donne S{2}, c'est si facile que ça?
Tu poses en effet que la partie réelle soit nulle.
Cela donne x = 2.
L'ensemble est l'ensemble des points d'abscisse x égale à 2.
est la droite verticale d'équation : x = 2.
Voici une figure par Geogebra.
Tu peux recopier les données, faire bouger le point M avec ta souris et tu verras que si M est sur la droite, Alors M' est sur l'axe imaginaire.
Fiouu, j'avais hâte de terminer ce truc..
Un grand MERCI pour avoir pris tout ce temps pour moi Hiphigénie! Je conclus et dodo!
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