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Nombre Complexe

Posté par
PapyBrooow
12-09-18 à 21:02

Bonjour, j'ai un exercice de math à faire et je ne sais pas trop comment m'y prendre. Voici l'énoncé : Existe-t-il un nombre complexe dont le carré est égal à i ? Si oui, est-il unique ?

Donc j'ai essayé comme ça :
(x+iy)2 = i
x2 + 2xiy - y2 - i = o
x2 - y2 + i(2xy-1) = 0

et j'ai x2 - y2  = 0      et   2xy-1 = 0
mais là je bloque et je ne sais pas dutout si je m'y suis bien pris en exprimant le complexe sous la forme x+ iy au début :/

Merci de votre aide !!

Posté par
Yzz
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 21:04

Salut,

Bon début.
Et avec x² - y²  = 0 , tu ne peux pas aller plus loin ?

Posté par
PapyBrooow
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 21:17

Merci de votre réponse !

En continuant, j'ai donc
x2 = y2
x = y ou -y

Ce qui donne en remplaçant dans l'autre équation :
2(-y)(y) - 1 = 0
2(y)(y) - 1 = 0

-2y2 = 1
2y2 = 1

y = 1/2 ou y = -1/2 , j'ai donc 4 solutions ?

1/2 + 1/2 i
1/2 - 1/2 i
-1/2 + 1/2 i
-1/2 - 1/2 i

Posté par
Yzz
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 21:31

Tu n'en n'a pas 4 !

x = -y donne -2y² = 1 : donc y ?

Posté par
PapyBrooow
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 21:38

Oh oui j'ai pas fait attention !
y = -1/2 i
C'est ça ?

Posté par
Pirho
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 22:08

Yzz n'étant plus là je me permets de répondre

y c'est le coefficient de i(z=x+iy) donc y est réel

Posté par
PapyBrooow
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 22:10

Ah oui effectivement
Je ne sais pas quoi faire d'autre, il n'y a pas être pas  de nombre complexe dont le carré est égal à i .
Sinon pouvez-vous m'orienter vers une autre piste svp !

Merci

Posté par
Pirho
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 22:23

reprenons depuis le début

x²-y²=0 et xy=1/2

(x+y)(x-y)=0

x=-y ou x=y

x=-y, -y²=1/2impossible dans R

x=y, y²=1/2 d'où 2 valeurs de y et 2 valeurs de x

et c'est tout!

Posté par
PapyBrooow
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 22:27

Merci, et avec les 2 valeurs de y et les 2 valeurs de x , je peux donc avoir 4 solutions complexes que j'ai énoncé plus haut ?

Posté par
Pirho
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 22:33

non tu as

z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i

et z=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i

Posté par
PapyBrooow
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 22:39

Ah oui, je comprends, je ne me plaçais pas dans R pour y, alors qu'il s'agit d'un réel, d'où les 2 mauvaises solutions supplémentaires !!

Merci beaucoup Pirho et Yzz pour votre aide et bonne fin de soirée

Posté par
Pirho
re : Nombre Complexe 12-09-18 à 22:55

de rien et bonne fin de soirée à toi aussi

Posté par
Yzz
re : Nombre Complexe 13-09-18 à 07:26

...et bonne journée !
Merci à Pirho d'avoir pris la suite  

Posté par
Pirho
re : Nombre Complexe 13-09-18 à 08:04

bonne journée à toi Yzz

Posté par
Pirho
re : Nombre Complexe 13-09-18 à 08:05

et de rien bien sûr(envoyé trop vite)!!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombre Complexe 30-11-19 à 18:35

Bonjour,
Une remarque :
Les formes trigonométriques me semblent plus adaptées que les algébriques pour résoudre \; z2 = i .
Le module des solutions est 1 et
(eit)2 = ei/2 2t = /2 + 2k .



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