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Nombre complexe

Posté par
Roon
03-01-20 à 16:02

Bonjour j'ai un dm pour la rentrée .
on considère le polygone p définit par P(z)=z⁴-6z³+24z²-18z+63.
1.Calculer p(i√3) et p(-i√3)
J'ai trouvé 0 pour les deux
A=i√3.  B=-i√3
C=2i√3+3 D=-2i√3+3
4 . montré que les image A B C et D des quatre solution de l'équation précédente appartiennent a un même cercle dont on déterminera le centre
et le rayon . représenté le cercle .
J'ai répondu aux 3 question mais je arrive pas a démontré que les 4 points appartient a la même cercle .
Merci d'avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombre complexe 03-01-20 à 16:11

Bonjour,

les sommets d'un trapèze isocèle appartiennent forcément à un même cercle ...
("remarquer" que les points A,B,C,D sont deux à deux les images de complexes conjugués)
ensuite il ne reste donc plus qu'une seule coordonnée du centre à trouver ...
et finalement le rayon

Posté par
littleguy
re : Nombre complexe 03-01-20 à 16:19

Bonjour,

S'ils sont cocycliques alors le centre du cercle appartient à la médiatrice de [AB] et aussi à la médiatrice de [CD].

etc.

Posté par
littleguy
re : Nombre complexe 03-01-20 à 16:21

Bonjour mathafou,

Pas vu ta réponse.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombre complexe 03-01-20 à 16:28

bonjour littleguy
ça reviendra au même : si dans un quadrilatère deux médiatrices sont confondues ...
(s'il n'est pas dégénéré)

Posté par
littleguy
re : Nombre complexe 03-01-20 à 16:30

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 03-01-20 à 16:56

Bonjour
Merci de votre réponse
J'ai une question pour calculer le médiatrice: si E est la  la médiatrice  du segment (AB)  Si et seulement si |Z-Za| =|Z-Zb| alors AM=BM
Mais comment je doit m'y prendre?

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 03-01-20 à 16:58

Et qu'est ce veut dire cocyclique ?
Merci encore .😂

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombre complexe 03-01-20 à 17:21

cocycliques, ça veut simplement dire "sur un même cercle" (dictionnaire ...)

"pour calculer la médiatrice: ..."
oui, si tu définis tout ça proprement, ce que tu ne fais pas.
cette équaition en z     |z-Za| = |z-Zb|     est l'équation de la médiatrice de [AB], exprimée en affixes
mais il faudrait peut être bien remplacer Za et Zb par ce qu'ils sont vraiment ici
et tant qu'à faire écrire z = x+iy, on y verra plus clair !!

mais raisonner directement de façon purement géométrique sera ici le plus efficace !!
(aucun calcul du tout pour avoir "les" médiatrices de AB et CD !!)

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 03-01-20 à 18:12

D'après mon cours
|Z-Za|=|Z-Zb|
|Z-(i√3)|=|Z-(-i√3)|
Soit A le point d'affixe Za=i√3
Soit B le point d'affixe Zb=-i√3
Donc |z-Za|=|Z-Zb|
AM=BM
M est équidistance de A et de B
M appartient a la médiatrice du segment [AB]
Cc: E est la médiatrice du segment [AB]
Mais je comprends pas pourquoi c égal

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 03-01-20 à 18:14

mais raisonner directement de façon purement géométrique sera ici le plus efficace !!
(aucun calcul du tout pour avoir "les" médiatrices de AB et CD !!)
Donc je peut aussi conjecture graphiquement que le centre  E du cercle est d'affixe 3?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombre complexe 03-01-20 à 18:43

il n'y a pas pas à tourner en rond sur une définition qu'on répète en boucle sans l'appliquer jusqu'au bout :

|Z-(i√3)| = |Z-(-i√3)| = |Z+i√3| oui

|x+i(y-√3)| = |x+i(y+√3)|

et faudrait peut être bien les calculer effectivement ces normes !!!!
et arrêter de les juste répéter en boucle sans rien en faire du tout !

géométriquement :
il n'y a rien à conjecturer !!
les points d'affixes deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses et c'est tout.
("symétrique par rapport à une droite" c'est de la géométrie où je ne m'y connais pas !!)

reste donc uniquement à trouver l'abscisse du centre xo vu que l'ordonnée on la connait (sans conjecture, par le raisonnement ci dessus)

et là il faudra bien écrire l'équation d'une médiatrice ... ou l'équivalent sur les normes
(mais pas de AB ni de CD, de AD plutôt, les médiatrices de AB et de CD on les a sans aucun calcul : c'est toutes deux l'axe des abscisses !! voir ci dessus)
...
et poursuivre bien entendu les calculs de cette médiatrice ou de cette norme jusqu'au bout
pour obtenir xo par une équation en l'inconnue xo

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 03-01-20 à 20:28

Merci beaucoup pour ton aide j'ai enfin compris merci beaucoup 😂

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 05-01-20 à 19:32

AD=|z-za|=|z-zd|
AD=|x+iy-(i√3)|=|x+iy-(-2i√3+3|
     =|X+i(y-√3)|=|x-3+i(y+2√3)
Les norme |AD|=√x²+y²
                                =√x²+(y-√3)²
                                =√x²+y²+3
Après je suis bloqué
Besoin d'aide svp

Posté par
Priam
re : Nombre complexe 05-01-20 à 22:26

En considérant les normes au carré :
x² + (y -3) = (x - 3)² + (y + 23)²
etc.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombre complexe 06-01-20 à 12:16

faudrait peut être développer et réduire (correctement !!) ...

de toute façon c'est faux
* le carré de y-&radix;3 n'est pas y²+3 !!!

y =0 est connu (pourquoi ? déja dit, à cause de la médiatrice de AB)

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 06-01-20 à 12:40

AD=racine x²+y²-2√3y+3=racine x²+y²-6x+4√3y+21
Vu qu'on sais que les médiatrice de AB et CD est l'axe de l'abscisse donc y=0
Ensuite je remplace et je réduit l'équation
Je trouve x=3
Donc le centre du cercle est (3;0)
3s5 ce que c bien sa 😂

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 06-01-20 à 12:45

Et aussi je suis pas obligée de démontre de la même manière pour CB?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombre complexe 06-01-20 à 13:14

inutile
la symétrie par rapport à l'axe des abscisses suffit à justifier que les points sont cocycliques (sommets d'un trapèze isocèles)

et donc le centre est l'intersection de 2 médiatrices seulement (et les deux autres passent par ce centre sans calculs supplémentaires)
celle de AB = l'axe des abscisses
et celle de AD (fait)

Posté par
Roon
re : Nombre complexe 06-01-20 à 18:27

Merci beaucoup !!!



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