Bonjour j'ai un dm pour la rentrée .
on considère le polygone p définit par P(z)=z⁴-6z³+24z²-18z+63.
1.Calculer p(i√3) et p(-i√3)
J'ai trouvé 0 pour les deux
A=i√3. B=-i√3
C=2i√3+3 D=-2i√3+3
4 . montré que les image A B C et D des quatre solution de l'équation précédente appartiennent a un même cercle dont on déterminera le centre
et le rayon . représenté le cercle .
J'ai répondu aux 3 question mais je arrive pas a démontré que les 4 points appartient a la même cercle .
Merci d'avance
Bonjour,
les sommets d'un trapèze isocèle appartiennent forcément à un même cercle ...
("remarquer" que les points A,B,C,D sont deux à deux les images de complexes conjugués)
ensuite il ne reste donc plus qu'une seule coordonnée du centre à trouver ...
et finalement le rayon
Bonjour,
S'ils sont cocycliques alors le centre du cercle appartient à la médiatrice de [AB] et aussi à la médiatrice de [CD].
etc.
bonjour littleguy
ça reviendra au même : si dans un quadrilatère deux médiatrices sont confondues ...
(s'il n'est pas dégénéré)
Bonjour
Merci de votre réponse
J'ai une question pour calculer le médiatrice: si E est la la médiatrice du segment (AB) Si et seulement si |Z-Za| =|Z-Zb| alors AM=BM
Mais comment je doit m'y prendre?
cocycliques, ça veut simplement dire "sur un même cercle" (dictionnaire ...)
"pour calculer la médiatrice: ..."
oui, si tu définis tout ça proprement, ce que tu ne fais pas.
cette équaition en z |z-Za| = |z-Zb| est l'équation de la médiatrice de [AB], exprimée en affixes
mais il faudrait peut être bien remplacer Za et Zb par ce qu'ils sont vraiment ici
et tant qu'à faire écrire z = x+iy, on y verra plus clair !!
mais raisonner directement de façon purement géométrique sera ici le plus efficace !!
(aucun calcul du tout pour avoir "les" médiatrices de AB et CD !!)
D'après mon cours
|Z-Za|=|Z-Zb|
|Z-(i√3)|=|Z-(-i√3)|
Soit A le point d'affixe Za=i√3
Soit B le point d'affixe Zb=-i√3
Donc |z-Za|=|Z-Zb|
AM=BM
M est équidistance de A et de B
M appartient a la médiatrice du segment [AB]
Cc: E est la médiatrice du segment [AB]
Mais je comprends pas pourquoi c égal
mais raisonner directement de façon purement géométrique sera ici le plus efficace !!
(aucun calcul du tout pour avoir "les" médiatrices de AB et CD !!)
Donc je peut aussi conjecture graphiquement que le centre E du cercle est d'affixe 3?
il n'y a pas pas à tourner en rond sur une définition qu'on répète en boucle sans l'appliquer jusqu'au bout :
|Z-(i√3)| = |Z-(-i√3)| = |Z+i√3| oui
|x+i(y-√3)| = |x+i(y+√3)|
et faudrait peut être bien les calculer effectivement ces normes !!!!
et arrêter de les juste répéter en boucle sans rien en faire du tout !
géométriquement :
il n'y a rien à conjecturer !!
les points d'affixes deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses et c'est tout.
("symétrique par rapport à une droite" c'est de la géométrie où je ne m'y connais pas !!)
reste donc uniquement à trouver l'abscisse du centre xo vu que l'ordonnée on la connait (sans conjecture, par le raisonnement ci dessus)
et là il faudra bien écrire l'équation d'une médiatrice ... ou l'équivalent sur les normes
(mais pas de AB ni de CD, de AD plutôt, les médiatrices de AB et de CD on les a sans aucun calcul : c'est toutes deux l'axe des abscisses !! voir ci dessus)
...
et poursuivre bien entendu les calculs de cette médiatrice ou de cette norme jusqu'au bout
pour obtenir xo par une équation en l'inconnue xo
AD=|z-za|=|z-zd|
AD=|x+iy-(i√3)|=|x+iy-(-2i√3+3|
=|X+i(y-√3)|=|x-3+i(y+2√3)
Les norme |AD|=√x²+y²
=√x²+(y-√3)²
=√x²+y²+3
Après je suis bloqué
Besoin d'aide svp
faudrait peut être développer et réduire (correctement !!) ...
de toute façon c'est faux
* le carré de y-&radix;3 n'est pas y²+3 !!!
y =0 est connu (pourquoi ? déja dit, à cause de la médiatrice de AB)
AD=racine x²+y²-2√3y+3=racine x²+y²-6x+4√3y+21
Vu qu'on sais que les médiatrice de AB et CD est l'axe de l'abscisse donc y=0
Ensuite je remplace et je réduit l'équation
Je trouve x=3
Donc le centre du cercle est (3;0)
3s5 ce que c bien sa 😂
inutile
la symétrie par rapport à l'axe des abscisses suffit à justifier que les points sont cocycliques (sommets d'un trapèze isocèles)
et donc le centre est l'intersection de 2 médiatrices seulement (et les deux autres passent par ce centre sans calculs supplémentaires)
celle de AB = l'axe des abscisses
et celle de AD (fait)
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